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termes de la suite indéfinie a^^a^, . . . allant eu croissant, on ait la 

 condition : limite a„ = co pour v infini. On peut toujours former une 

 fonction analytique uniforme J (r) avec le seul point singulier oo, 

 n'ayant d'autres pôles que a^, a^» . , , et telle que la différence 

 r^ [x] — /„ [x) soit finie pour x = a^. 



M. Hermite se propose de donner une démonstration différente 

 de celle de M. Weierstrass, et de déduire quelques conséquences 

 de la marche qu'il a suivie. 



Considérant d'abord la dérivée logarithmique d'une fonction 

 holomorphe dans tout le plan , il établit la forme de la fonction 

 ^ [x), et est conduit à la décomposition en facteurs primaires de 

 ces fonctions holomorplies. Passant ensuite aux fonctions uni- 

 formes non holomorphes, dont les résidus sont des constantes 

 quelconques, il détermine la fonction correspondante et montre 

 son existence analytique, ainsi que celle de ses dérivés. Comme 

 conséquence, M. Hermite donne, d'après M. Bourguet, l'expression 

 découverte par M. Weierstrass d'une fonction ^{x) ayant une 

 infinité de pôles et un nombre déterminé de points essentiels. 



M. Hermite passe alors à un sujet différent , à l'étude de la notion 

 analytique de coupure. 



Considérons l'intéo^rale : 



<^.^-)-jy7^.cll 



Y[t,z' 

 G{Uz) 



et supposons que dans l'intégration la variable t soit réelle et aille 

 en croissant de Îq à t^; les fonctions F(t, z) et G(t, z) qui peuvent 

 être réelles ou imaginaires sont holomorphes en t et z. 



La fonction O (r) aura une valeur unique et finie pour tous les 

 points du plan à l'exception du lieu qu'on détermine par la con- 

 dition G (f, ::) = o. A la série des valeurs réelles de / croissant de 

 /q à fj, correspond un nombre tantôt fini, tantôt infini déportions 

 de courbes ou de courbes entières suivant les cas, indiquant les 

 points du plan où l'intégrale ne donne plus la valeur de la fonc- 

 tion. N et N' désignant deux points situés sur la normale au 

 point M à la courbe G, de part et d'autre de cette courbe, et infi- 

 niment voisins du point M, M. Hermite détermine la valeur limite 



