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système fonda mental, cest-à-clire quand on fait une substitution 

 linéaire de la forme 



Ji = Ca :r, + C„ ^2, . . . + C,„ 2„ ( i = 1 . 2 . . . n) 



M. Appell nomme ces fonctions invariantes parce qu'elles se re- 

 produisent multipliées par un facteur constant, qui est une puis- 

 sance du déterminant de la substitution, quand on effectue une 

 substitution linéaire telle que la précédente. 



2° La forme générale des fonctions invariantes ayant été déter- 

 minée dans le chapitre précédent, M. Appell démontre le théorème 

 suivant : toute fonction algébrique entière, F, de r^, r2 , . . . >'„ et 

 des dérivées de ces fonctions, qui se reproduit, multipliée par un 

 facteur constant différent de zéro, quand on remplace Ji, Jo, • • • 

 )'„, par les éléments d'un autre syslème fondamental d'intégrales, 

 est égale à une fonction algébrique entière des coefficients de l'équa- 

 tion différentielle linéaire considérée 



.7Z' + "'^^^+--*+^'-^' = ^ 

 et aussi de leurs dérivées multipliées par une puissance de 



Ce théorème s'étend facilement à un nombre quelconque d'équa- 

 tions linéaires simultanées de la forme 



^T^' = a.ij. -j-«„r, +«.ara [i= 1.2. ../i.) 



3° Applications du théorème fondamental précédent à la trans- 

 formation des équations différentielles linéaires. 



!x° Cas spécial des équations différentielles linéaires entre les 

 intégrales desquelles il existe une relation algébrique à coefficients 

 constants. M. x\ppell montre comment on peut, sur une équation 

 différentielle donnée, reconnaître l'existence d'une pareille relation 

 et il applique les résultats trouvés à l'équation différentielle li- 

 néaire du second ordre : quand il existe une relation algébrique 

 à coefficients constants entre les intégrales d'une équation diffé- 

 rentielle linéaire du second ordre, l'intégration pent toujours être 

 ramenée à des quadratures abéliennes. G. B. 



