liOS SCIENCES MATHÉMATIQUES. 



par M. Besge [Journal de Liouville, IX, p. 336), el 



par M. Spitzer [Vorlesungen ûher lineare diffère ntial-Gleichung en , 



p- 98). 



De la réduction des formes quadratiques quaternaires po- 

 sitives, par M. Charve. [Comptes rend. Acad. des sciences, 

 t. XGII, p. 782.) 



Soit 



Ax'+By'+Cz' + Dl' 



+ 2Exy -\- iFxz + 2Gxt + 2HJ2 + sRjf + 2Lzt 



une forme quadratique quaternaire positive, changeant x, y, z, i 

 respectivement en x — u, y — u, z — u, t — u, on obtient une 

 transformée à cinq variables qui peut s'écrire: 



a[x-yY-\-b[x-zY + c[x-Vf^d[x-uY-^e[y-zY 



+ f[y - 1) + giy - iiV + h[z - V' -\-k[z-uY + l[t - uY 



M. Charve propose de prendre pour réduite une forme satisfai- 

 sant à Tune ou fautre des trois conditions suivantes : 



1° Ou bien tous les coefficients a, 6. . ., k, l, sont positifs; 



2° Ou bien a est seul négatif et se trouve inférieur en valeur 

 al)solue à h, c, d, e, f, g; 



3° Ou bien a ei h sont seuls négatifs; de plus, a est inférieur 

 en valeur absolue à h, c, d, e, f, g; h est, en valeur absolue, in- 

 férieur à 6, c, e,f, k, l; enfin a-\-h esl inférieur en valeur absolue 

 à h, c, e, f. 



Si l'on fait abstraction des permutations possibles entre les va- 

 riables, ces conditions sont vérifiées par une et une seule des formes 

 équivalentes à une forme donnée. 



