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et dont il détermine le développement suivant les puissances crois- 

 santes de rj 



y{n)=i +b,v^ +h,v'J' +b,v^l' +... 



v{v) = v +c./ + ^ +c,v'P + ^ + cy^+^^,,, 



et qu'il donne la manière de former. Ces fonctions satisfont a 

 l'identité (2) et fournissent les intégrales de (1) suivant les for- 

 mules (3) et (4). G. B. 



SOR UNE NOUVELLE APPLICATION DE QUELQUES PROPRIÉTÉS IM- 

 PORTANTES DES FONCTIONS FUCHSIENNES, par M. PoLNCARÉ. 



[Comptes rend. Acad. des sciences, i88j, t. XCÏI, p. Sôg.) 



Les fonctions fuchsiennes permettent d'intégrer une infinité 

 d'équations de la forme 



où (p [x) est rationnel en x. 



Ainsi si a, h, c sont convenablement choisis, si la différence 

 des racines des équations déterminantes relatives a chacun des 

 points singuliers 



a, b, c, 00 



est une partie aliquote de funité, l'équation 



dx 



' ^ l[x-aY ^ x-a^ [x-bf^ x-b\[x-cY^ x-c\ 



est intégrable à l'aide des équations fuchsiennes. 



De mêa:c, les équations à coeiïicients doublement périodiques 

 s'intégreront par les fonctions fuchsiennes et zétafuchsiennes, s'il 

 n'y a que des pôles et un point critique algébrique, et même 

 aussi, sous certaines conditions, quand il y a plus d'un point cri- 

 tique algébrique. 



