MATHEMATIQUES. 503 



Sur la réduction des formes quadratiques, par M. Jordan. 

 [Comptes rend. Acad. des sciences, 1881, t. XCIl, p. 1 i3, 



181, 23Zi.) 



Dans ces trois communications Tauteur traite de la réduction 

 des formes quadratiques, de leur équivalence et de la représen- 

 tation d'un nombre ou d'une forme quadratique par une autre 

 forme quadratique. 



M. Jordan dit qu'une substitution 



^1 «11 a7i + . . . + ai„ x^ 



S = 



oon a„ a„i + . . . + a„„ x^ \ 

 de déterminant S est réduite si Ton a identiquement 



N(aiia;i + ... + «!„ a;J -f- • . • +N(a„i a^i + ••• +a„„a:J 



N (x) représentant la norme de x, f^i» f^2- • • • (^n étant des quan- 

 tités positives satisfaisant aux relations , 



et ei2'*- • e„-i'n <l6S quantités complexes dont la norme ne sur- 



1 

 passe pas - • 



Étant donnée une substitution , on peut déterminer une substi- 

 tution convenable à coefficients entiers telle que le produit des 

 deux substitutions donne une substitution réduite. 



Une forme G, algébriquement équivalente à une forme F, sera 

 dite réduite par rapport à F, si parmi les substitutions qui trans- 

 forment F en G il en est une qui soit réduite. 



Soient maintenant F une forme quadratique à n variables, à 

 coefficients quelconques et de discriminant A^ O, et G une forme 

 quadratique à coefficients entiers complexes de même déter- 

 minant et qui soit la transformée de F par la substitution ré- 

 duite S; M. Jordan montre que deux cas peuvent se présenter : 

 ou bien tous les coefficients de la réduite C sont limités (réduites 



