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Les condilions sur lesquelles le développement s'applique sonl 

 indépendantes de x, en sorte que la fonction /(a?) est ordinaire- 

 ment synectique dans tout le plan. 



M. Haiphen se trouve conduit par ces recherches à Tétude du 

 développement d'une fonction suivant les dérivées d'une autre 

 fonction, et aussi à des développements tels que ceux envisagés 

 par M. Appell. [Annales de l'Ecole normale supérieure, t. IXg.) 



SVR QUELQUES SÉRIES POUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS 



À UNE SEULE VARIABLE ,])SiV M. Halpfien. [Comptes rendus, 

 Acad. des sciences , l. XCIII, p. 833.) 



En général, on a pour le développement de f[x,y), suivant les 

 dérivées d'une fonction quelconque, la série : 



Pc V(j) + V,[x) V'( j) + P,(.r) V"(j). . . + PJx) V^'") [y) + ... 



où 'Pm[x) est le coefficient du [m -\- iY'""' terme dans le développe- 

 ment suivant les puissances croissantes de K de la fonction 



K 



^ 6[x)e^''.dx 



fc et c sont des constantes prises à volonté et [x) doit être déter- 

 minée par la condition 



j: 



^e[x)f[x^y)dx = N[y). 



L'auteur donne en outre quelques propriétés de ces dévelop- 

 pements en séries quand on se donne / et B. Ses formules sont 

 une belle généralisation des résultats donnés par M. Hermile dans 

 les Comptes rendus (t. LVIII). G. B. 



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