MATHÉMATIQUES. G51 



Sdr l'Équation différentielle linéaire qui admet pour 

 INTÉGRALE LA SÉRIE hypergéométrique , tlipsc présentée à 

 la Faculté des sciences de Paris par M. Goursat. (An- 

 nales de l'Ecole normale supérieure, 1881, Supplément) \ 1/12 

 pages. 



La première partie de la thèse de M. Goursat est consacrée à 

 Tintégration de l'équation connue : 



x{x— 1 ) j" — [y — ( a + j6 + 1 ) ^] j' + a/3y = o. 



On sait, depuis Kummcr, quil existe, en général, outre la série 

 hypei^éométrique F (a, /S, 7,0;), vingt-trois séries qui vérifient 

 celte équation; cîiacune d'elles s'obtient en multipliant par 

 X P (\ — x)f une série hypergéométrique dont les trois premiers 

 éléments sont liés simplement à ct^^.y^ et dont le quatrième élé- 



ment est a;, —, 1 — x, -, ^-^ — ou — ;— . Dans la région de con- 



vergence commune à trois de ces vingl-quatre séries, une cer- 

 taine relation linéaire, dont les coelïicients ne dépendent que de 

 a, /S, 7 existe évidemment entre les trois séries considérées. La 

 connaissance de ces relations permet de résoudre complètement 

 le problème de l'intégration, posé sous cette forme: Étant donné 

 un chemin continu qui part d'un point A du plan des x et qui 

 aboutit à un point B; étant donnée, en outre, une solution de 

 l'équation hypergéométrique qui convienne à la région où se trouve 

 le point A, et supposant que la variable x suive le chemin donné, 

 déterminer la solution à laquelle on parvient au point B. 



C'est par l'étude des intégrales définies de la forme 



'9 

 ou 



r, 



^ (1 — h)^ ^ ' ' fi — rti' 



et où g , h admettent les systèmes de valeur o, i;o, — co; i,-j-co; 

 o,-i 1,-; -, -j-^^' ^^6 M. Goursat arrive à déterminer toutes 



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ces relations; ces intégrales définies vérifient, comme on sait, fé- 



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