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qnalion bypeigéomélrique , en supposant, bien entendu, qu'elles 

 aient un sens. 

 L'intégrale 



/: 



par exemple, en supposant positives les parties réelles de (3 et de 

 y — /S; en prenant pour chemin d'intégration la portion conve- 

 nable de Taxe des x réels; en choisissant zéro pour argument de ii 

 et de 1 — u, et en prenant pour argument de i — xu celui qui est 

 nul 250ur x = o, définit, comme on le voit aisément, une fonction 

 de X qui est uniforme dans tout le plan, à condition que le che- 

 min suivi par la variable ne coupe pas la droite i + ^^- Dans 

 l'intérieur du cercle de rayon i et dont le cenlre est le point 

 zéro, on obtient immédiatement, par le développement de l'inté- 

 grale en série , 



fi.jj r(/3)r(7-/3),., , ^ 



j^Vcla^ r(7) ^^ l«'/3'7'-)- 



Maintenant, les changements de variables suivants indiqués par 

 Jacobi 



V 



Il = 



1 — .T + vœ 



— V 



u — 



conduisent à trois autres des intégrales indiquées par M. Kummer. 

 En résumé, la considération de cette intégrale définie conduit à 

 la notion de l'intégrale (p^ de l'équation hypergéométrique, uni- 

 forme dans tout le plan, sous la rectriction précédemment impo- 

 sée, et susceptible d'être représentée par quatre séries convergentes 

 dans diverses régions du plan. 



L'étude des cinq autres intégrales conduit à la notion d'inté- 

 grales (^2, ^3» Ç'4, ^'5, ^6, uniformes dans tout le plan, sauf 

 certaines restrictions imposées au chemin décrit par la variable, et 

 susceptibles chacune d'être représentées par quatre séries. 



Il reste à établir les formules de passage relatives à trois quel- 

 conques; ces formules sont au nombre de quarante : les vingt pre- 



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