MATHEMATIQUES. 053 



mières conceruaut des portions du plan situées au-dessus de l'axe 

 des .r réels; les vingt autres des portions situées au-dessous. Pour 

 parvenir à ces formules, M. Goursat applique le théorème dj 

 Cauchy à l'intégrale fV t/u prise le long d'un contour simple, à 

 rintérieur duquel la fonction V' est holomorphe et qui est constitué 

 par les lignes suivantes: i" un demi-cercle de rayon R situé au- 

 dessus des a; réels et ayant pour centre le point zéro; 2° deux 

 demi-cercles de rayons très petits, situés au-dessus de la même 

 droite, et dont les centres sont les points zéro et 1 ; 3^ les portions 

 de Taxe des x réels qui, avec les lignes précédentes, complètent 

 un contour fermé; si Ton fait tendre vers zéro les rayons des pe- 

 tits demi-cercles et augmenter indéfiniment le rayon R, on par- 



vient à régalité 



J — oc J o J \ 



où il est aisé de spécifier les valeurs qu'il convient de prendre 

 pour les arguments de 11 et de 1 — u. 



Si maintenant on se reporte aux expressions, sous fonnc d'in- 

 tégrales définies, des fonctions (^, on aperçoit que la relation pré- 

 cédente conduit immédiatement aux formules de passage cher- 

 chées. 



Tout ce qui précode suppose que des nombres 7, 7 — a — ^, 

 a — /3, aucun n'est entier. Si l'un d'eux est entier, on n'a plus 

 qu'une intégrale dans l'un des groupes; on en ti'ouve alors une 

 autre par un procédé bien connu qui consiste à chercher la Hniile 

 pour r=r^ d'une expression de la forme : 



F vT, r) - F^ ,a;, r) 

 r — r, 



OÙ F (.u, r), Fj (a;,r) désignent deux intégrales de féqualion qui 

 viennent se confondre pour r= r^. 



M. Goursat traite divers exemples particuliers qui mettent bien 

 en évidence le parti qu'on peut tirer de ses formules. 



Une application bien digne d'être signalée est celle qu'il fait de 

 la recherche d -s conditions nécessaires et suffisantes pour que lin- 



