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tégrale générale de l'équation hypergéoméirique soit algébrique ; 

 on sait que cette question se trouve résolue dans un beau mémoire 

 de M. Schwarz [Journal de Borchaidt, t. LXXIII, p. 292). C'est 

 par une voie tout élémentaire que M, Goursat retrouve les résultats 

 obtenu par M. Schwarz. 



Le proi^lèuie résolu par M. Goursat dans la seconde partie de 

 son travail ne présente pas moins d'intérêt. Les mémoires de Gauss 

 et Kummer sur la série hypergéo métrique contiennent un grand 

 nombre de formules qui supposent certaines relations entre les trois 

 premiers éléments. Le type général de ces formules est : 



/ élant une fonction algébrique de x; la fonction 



cJ" [1 -x)U^' [i -if Y [oL.^\y\t) 

 est alors une intégrale de l'équation 



x[i -a;)y'-[7-(a + /3+i)a?]y + a/3j = o. 



M. Goursat se propose de chercher tous les cas où il existe de 

 pareilles intégrales. 



Se plarant pour cela au point de vue de Riemann , dans un 

 mémoire bien connu, il considère une fonction P [x], n'admettant 

 dans toute l'étendue du plan que trois points critiques o, 1, etco; 

 holomorphe dans toute région du plan, à contour simple ne ren- 

 fermant aucun de ces points, telle que, entre trois branches quel- 

 conques de la fonction, il existe une relation linéaire et homogène 

 à coefficients constants, telle enfin que chaque branche reste finie 

 poura; = o, a;=i,a;^=co, quand on la multiplie par une puis- 

 sance convenable de a; ou de i — x\ une telle fonction vérifie tou- 

 jours une équation de la forme 



+ (Ax2 + Bj;-f C)P = o, 



Or, on passe aisément d'une telle équation à l'équation hyper- 

 géométrique. Le problème se trouve ainsi ramené au suivant : 



