MATHEMATIQUES. 655 



Reconnaîlre pour quelles valeurs des conslanles A,13»G, /, m, 

 il existe des changemenls de variables x = (p [i] par lesquels l'é- 

 quation (i) ne chaûge pas de forme, A, B,C, /, m élant seulement 

 remplacés par des constantes nouvelles A, B',C', /, ni. 



Un calcul facile montre que le problème se ramène lui-même 

 au suivant : 



Déterminer dans quels cas les équations 



V x{i-x) V ^(a-0 



dx _ Kdt 



a;'(i-a;""""(i-0'"' 



admettent une solution commune, les constantes A,B', G ,/, «i ,K 

 élant arbitraires. 



De ces deux équations on peut tirer une combinaison algébrique 

 en X, t, savoir : 



\[1^x-\■^)x{x-l)^\'1{^x'--\-J^x-\■c)[[l-l){x-l)^[m-l)x]\\ 



{Ax'-^ + B^ + Cf 

 î(2A< + B')<(^-i) + 2(A^^^ + B^^ + C")[(r- i)(^- i) + {ni -\)t\ \ 



Si celte relation n'est pas une identité, on voit qu'il existe entre 

 X Gi t une relation qui sera au plus du sixième degré, par rapport 

 à chacun des variables. L'auteur montre que dans le cas où cette 

 équation est identique, il existe une infinité de substitutions qui. 

 n'altèrent pas la forme de l'équation (i), mais que cette équation 

 (ou l'équation hypergéométrique correspondante) s'inlégrant alors 

 par les fonctions élémentaires, exponentielles, circulaires ou loga- 

 rithmiques, c'est à des relations entre des fonctions de cette nature 

 que l'on est conduit. 



Écartant ce cas particulier, M. Goursat cherche les transforma- 

 tions rationnelles 



R 



qui peuvent exisler, R et S étant deux polynômes en t d'un degré 

 au plus égal au sixi^'uie; une discussion approfondie des diflérents 



