MATHEMATIQUIlS. lOil 



Sur les applications de la géométrie non euclidienne à la 



THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES, par M. H. PoLNCARÉ. 



[Assoc. franc pour l'avanc. des sciences, i o*" session; Alger, 

 1881.) 



On sait quel lien étroit unit les conceptions de la géométrie 

 non euclidienne avec la théorie des formes quadratiques. Dans le 

 mémoire actuel, M. Poincaré présente sous un nouveau jour cette 

 correspondance, en faisant voir comment l'espace non euclidien 

 peut représenter les propriétés des formes quadratiques, et plus 

 spécialement celles qui ont trait aux substitutions linéaires à 

 coefficients entiers par lesquelles ces formes se transforment en 

 elles-mêmes. 



Sur les invariants arithmétiques, piw M. H. Poincaré. 

 [Assoc. franc, pour l'avanc. des sciences, 10" session; i\lger, 

 1881.) 



M. Poincaré appelle invariant arithmétique d'une forme bi- 

 naire, une fonction des coefficients qui reste invariable pour une 

 substitution linéaire à coefficients entiers dont le déterminant est 

 égal à l'unité. 



Le mémoire de M. Poincaré repose sur le théorème suivant : 



Toute fonction doublement périodique est exprimable à laide d'une 



intégrale définie prise entre les limites o et ce, le coefficient de dz 



sous le signe f étant rationnel par rapport à certaines puissances 



entières de z, ainsi que par rapport à certaines exponeniielles de la 



forme e"% e^^ 



Il en résulte que la forme linéaire ax -\- by, qui n'a pas d'inva- 

 riant algébrique, possède les invariants arithmétiques compris 

 dans le type : 



[am-\-hn)'ik'' 



où k est un entier fixe, le signe 2 ne s'étendant qu'aux entiers m 

 et n. 



L'auteur déduit de là une règle pour reconnaître réquivalence 



