118 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



par suite s'exprimer rationnellement à l'aide des (n-j-i) variables 

 y i 9 . . ., y n , z, liées par une relation 



k \ Z i Vli * ■ • » V ni x \i ' • ' > x mj = 0, 



où S est un polynôme en z, y 1? . . ., y n qui, de même que les X, Y, 

 dépend analytiquement de x, x x , . . . , x m . 



M. Painlevé étudie les intégrales premières d'un tel système al- 

 gébriques par rapport à y ly . . ., y n -, plus précisément, il se pro- 

 pose de déterminer toutes les intégrales 



(2) C = R(«, y^ . . . , y B , x, x x , . . .,x m ) 



de degré v en z, y 1? . . . , y n . 



Deux cas sont à distinguer suivant que le système (1) admet ou 

 non des intégrales premières, de la forme 



(3) F(#, a? x , . . ., # m ) = const. 



Premier cas. — Le système (1) n'admet pas d'intégrales premières 

 de la forme (3). Alors les intégrales (2) ne comportent qu'un nombre 

 fini de paramètres arbitraires; elles dépendent de l'intégration d'une 

 équation différentielle ordinaire à points critiques et essentiels 

 fixes. 



Deuxième cas. — Le système (1) admet des intégrales premières 

 de la forme (3). Alors les intégrales (2), s'il en existe, renferment 

 des fonctions arbitraires. Les intégrales (3) une fois déterminées, 

 la détermination des intégrales (2) dépend d'une équation diffé- 

 rentielle à points critiques et essentiels fixes. 



L'auteur passe ensuite à l'étude des intégrales premières particu- 

 larisées de (1), dont les singularités satisfont à certaines conditions 

 qui jouent un rôle important dans la recherche des intégrales pre- 

 mières de la dynamique. 



Il applique les conditions générales qu'il a développées aux sys- 

 tèmes de la forme 



/ * \ dx: , dx' P.( y[ , . . . , x' , x, , . . . , x n ) , . v 



v > dt " dt Q(x[, ..., <, x lt . .., x n ) v » l 



où les P{ et Q sont des polynômes en x[ , . . . , x' n . 



