ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 125 



Sur les zéros de certaines fonctions analytiques , par M. Desaint. 

 (Comptes rendus de V Académie des sciences, t. CXXIV, 1 897, p. 276- 



9 79-) 



Soit la fonction/(z) définie par la série 



m,n. 



(*-&,)... (s-^ fc ,) ' 



où Afrjt', flj, . . . , «fc, fcj, . . ., &&, sont des quantités variables avec 

 m, », . . ., s; kkk' est réel et garde un signe constant quand ni, n, 

 . . . , s prennent toutes les valeurs , la différence h — k' e'tant la 

 même pour toutes les fonctions rationnelles qui forment les termes 

 de cette série ; de plus tous les points a x , . . . , a k , b x , . . . , bj, , sont 

 à distance finie. Si Ton considère le cercle G (de rayon R) de sur- 

 face minima parmi tous ceux qui entourent tous les pôles et les 

 zéros des termes de la série J[z), les zéros de/(z) sont à l'intérieur 

 d'un cercle concentrique au cercle C^ de rayon 



sin 



*(* + *') 



où k + k' est la plus forte somme des degrés des dénominateurs et 

 numérateurs respectifs des fractions rationnelles de la série. 



Parmi les conséquences que l'auteur tire de ce théorème ge'néral, 

 nous citerons la suivante, relative à la position possible des points 

 singuliers des fonctions uniformes données par leurs valeurs sur 

 un cercle. 



Une fonction uniforme f(z) étant donnée par les valeurs le long 

 d'un cercle C de centre a et de rayon R, soit M son module ma- 

 ximum sur C. Désignant par A l'intégrale 



-JT /(a+R ^ )# ' 



si l'on peut trouver une quantité u différente de A telle qu'il existe 

 au moins une valeur z x de z, à l'intérieur d'un cercle Y concen- 

 trique à C et de rayon 



R 



#.»& 



