128 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



Sur les opérations en général, par M. C. Bouelet. 

 (Comptes rend. Acad. des sciences , t. CXXIV, 1897, p. 3&8-35i.) 



M. Bourlet nomme transmutation a n variables toute opération qui 

 transforme une fonction u de n variables en une autre fonction des 

 mêmes variables, Su, qu'il nomme la transmuée. 



Voici le problème général qu'il s'est proposé de résoudre : 

 k Déterminer toutes les transmutations telles qu'il existe une re- 

 lation donne'e à l'avance entre les transmuées des trois fonctions 

 u, v et ^(w, v), quelles que soient les fonctions u et v; is(x, y) 

 étant une fonction donnée des variables x et */, symétrique et telle 

 que &[£, ^(î/, z)] soit aussi symétrique, -a 



La solution est donnée par la proposition que voici : 

 cOn peut déterminer deux fonctions A(z) et B(s) telles que la 

 transmutation soit définie par l'égalité 



6tt = B[SÀ(tt)], 



où -S désigne le symbole opératif d'une transmutation telle que Ton 

 ait, quelles que soient les fonctions u et v, 



$ (u + v) = Su -{- $v. 



Le problème primitif est donc ramené à celui-ci : 

 tr Déterminer toutes les transmutations additives, c'est-à-dire qui 

 transforment une somme en somme, n Or celles-ci peuvent être ob- 

 tenues de la manière suivante : 



ffS désignant le symbole opératif d'une transmutation additive, 

 uniforme et continue, à n variables, on a, quelle que soit la fonc- 

 tion régulière m, 



les coefficients «^ , * 2 , . . . , k„ étant des fonctions données des variables 



En appliquant cette proposition aux opérations connues, on ar- 

 rive à des formules intéressantes. 



