ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 649 



SUR ff.TE ÉQCATWS AUX vèniYÉES PARTIELLES, par If. (fOLRSàT. 



(Bull, de la Soc. mathématique de France, t. XXV, 1897, P- 36-68.) 

 L'équation aux dérivées partielles du second ordre 



(1) . s- — h\(x, y)pq = o 

 est ramenée par la transformation 



(2) p = u- q = v 2 

 à l'équation linéaire 



(3) r-r t^-^ >M = 0, 



qui se rapproche des équations à invariants égaux. A toute équation 

 de la forme ( 3 ) intégrable par la méthode de Laplace , coirespond une 

 équation (1) qui s'intégrera par des quadratures ; de plus, son intégrale 

 générale appartient à la première classe d'Ampère, ainsi qu'il résulte 

 d'un théorème général relatif aux équations de cette classe. 



Lorsque la fonction A est de la forme k(x-\-y)~-, k désignant une 

 constante, pour que la suite de Laplace relative à l'équation (3) du coté 

 des indices positifs soit limitée, il faut et il suffit que k soit le carré d'un 

 nombre entier. L'auteur examine les cas les plus simples k=\, 

 £=ft et donne les intégrales générales correspondantes. 



Il rattache ensuite la transformation (2) à une question plus 

 générale. Si l'on convient d'appeler multiplicateur d'une équation 

 linéaire 



toute fonction (â renfermant les variables x. </, z et les déiivées 

 partielles de z jusqu'à un ordre quelconque, telle que le produit 

 llY(z) soit de la forme 



m , on 



c\r + c\ V ' 



M et N étant des fonctions du même type pt, on sait qu'il existe 

 toujours une infinité de multiplicateurs u(x, y) ne dépendant que 

 de x et de u; ce sont les solutions d'une équation linéaire, de même 

 forme que ¥(z) = , et qui est dite son équation adjointe. M. Goursat 



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