ANALYSES ET ANNONCES.— MATHEMATIQUES. ll/il 



Mais L'intérêt de cette méthode tient aux rapprochements qu'elle 

 établit entre les systèmes algébriques et certains systèmes différen- 

 tiels dont traite le troisième et dernier chapitre du Mémoire. Soit 

 2 un système d'équations aux dérivées partielles à une seule in- 

 connue z, aux m variables x 1 , a? 2 , . . . , x m et dont chaque équation 

 a pour premier membre une fonction linéaire homogène et à coef- 

 ficients constants des dérivées d'un même ordre de z; si dans toutes 

 les équations du système 2 on remplace chaque dérivée 



y: 



par le monôme correspondant 



12 m 



on forme un système algébrique S homogène à m inconnues, qui 

 est dit le transformé algébrique de 2. On sait depuis longtemps que si 



ttj , #2 , . . . , a m 



est une solution du système S, 



f{a ] x l + a, 2 x, + . . . + a m x m ) 



est une solution du système 2, la fonction/ restant arbitraire. Mais 

 il y a plus : les deux systèmes 2 et S ont forcément les mêmes indices, 

 de sorte que, si l'on a trouvé les degrés des diverses multiplicités 

 qui composent la solution générale de S, on connaît le nombre et 

 la nature des arbitraires qui figurent dans l'intégrale générale de 

 2, en vertu des théorèmes suivants, que démontre M. Delassus : 

 La condition nécessaire et suffisante pour que le système 2 ait une in- 

 tégrale générale dépendant seulement d'un nombre limité de constantes 

 arbitraires est que le système algébrique S soit incompatible. Dans ce cas, 

 V intégrale générale de 2 est de la forme 



les a étant des constantes arbitraires et les P des polynômes entiers en 



X^ , #2 •> • • • i % '/«• 



