ii&A REVUE DES TRWALX SCIENTIFIQUE-, 



ce qui réduit la relation involutive entre À' et h' à 



/,-/.■ =o. 



On peut alors identifier l'élément linéaire qui devient 



ds- = ( av- —■ ibc — c) du- — i(auv — bu — b'v — i) du dv 

 -±-(au-—lu — c)du-. 



avec celui d'un paraboloïde quelconque rapporté à ses génératrices 

 rectilignes. Mais on n'arrive à la détermination complète des cou- 

 gruences correspondantes (C) que dans les deux cas traités déjà 

 par M. Weingarten : celui du paraboloïde à deux plans directeurs 

 isotropes (paraboloïde de révolution) et celui du paraboloïde ima- 

 ginaire à un plan directeur isotrope. 



Pour trouver toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde 

 général 



il faudrait déterminer deux surfaces (A) et (X l ) se correspondant aux 

 points A et Aj par plans tangents parallèles, acec la relation 



OA.OA ] cosAOA 1 = yOA-~fl 2 \ OAJ-^-6-. 



de façon que la surface ( A | soit la surface moi/enne de la mmg\WUCe des 

 droites AB parallèles aux droites 0A r 



Cette proposition permet d'établir un lien entre la déformation 

 du paraboloïde et la ibéorie des lignes de courbure. M. Tbvbaut 

 démontre que si l'on connad un couple de surfaces (A), Heu du point 

 (.r, y. r), et (AJ. Heu du point (Xj, Jfj, 6j), répondant à la question 

 précédente, les formules 



X=-ï-, ¥=-»-, «-- Î-. 



// — a u — a u — h 



1 r — a l v — a 



z,= 



représentent deux sur/aces isothermiques rapportées n leurs lignes de cour- 

 bure */ = const. et r = const. Dan- le cas où le paraboloïde a un plan 

 directeur isotrope, l'une des surfaces isothermiques est une sphère 

 et l'autre surface appartient à une nouvelle famille que fauteur a 



