

ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. Il'iô 



ainsi découverte et qu'il détermine complètement à la fin de la 

 troisième partie. 



Dans la deuxième partie, If. Thybaut montre d'abord que les 

 surfaces (B) et (B x ), qui correspondent respectivement à (A) et (A x ) 

 avec orthogonalité des éléments, sont des surfaces minima, focales 

 dune même congruence de droites, et que les asymptotiques se 

 correspondent sur ces deux surfaces. Réciproquement, chaque couple 

 de surfaces minima sur lesquelles les asymptotiques se correspondent et qui 

 sont focales d'une même congrucncc rectilignt > fait connaître deux suij'aces 

 (A) et (Aj), c'est-à-dire une sur/ace applicable sur le paraboloïde de revo- 

 lution. En appliquant ce théorème, on retrouve les formules par 

 lesquelles M. Darboux a représenté l'ensemble des surfaces appli- 

 cables sur le paraboloïde de révolution; et la considération des deux 

 surfaces minima B et B 1 conduit à l'énoncé suivant : On sait déter- 

 miner toutes les congruences dont les surfaces focales sont des surfaces mi- 

 nima sur lesquelles les asymptotiques se correspondent. 



Aux congruences (C), déjà définies, on peut associer les con- 

 gruences (Cj) formées par les droites AjBj parallèles à OÀ; aux 

 surfaces (A) et (Aj), les surfaces (M) et (Alj qu'on obtient en por- 

 tant sur AB, en sens inverse de OA, une longueur AM égale à OA 

 et sur A 1 B 1 , en sens inverse de OA, une longueur A x Mj égale à 

 OA 2 ; ces deux surfaces (M) et (MJ sont inverses l'une de l'autre 

 par rapport à l'origine. Les développables des congruences (C) et 

 (Gj) correspondent sur la spbère de rayon 1 à un réseau orthogonal 

 et isotherme, qui est la représentation sphérique des lignes de 

 courbure des surfaces inverses (M) et (Mj). Par suite, on sait dé- 

 terminer toutes les congruences dont les développables découpent sur une 

 sphère un réseau orthogonal et isotherme. De plus, la méthode de 

 M. Thybaut fait connaître tous les couples de surfaces incerscs à repré- 

 sentation sphérique isotherme. Ces divers résultats et plusieurs de ceux 

 de la troisième partie se rattachent aux travaux récents de M. Dar- 

 boux et en particulier à sa théorie des douze surfaces (Leçons sur 

 la théorie des surfaces , t. IV). 



Dans la troisième et dernière partie de son Mémoire, l'auteur 

 applique sa méthode au paraboloïde qui a un plan directeur iso- 

 trope. Pour trouver une surface applicable sur ce paraboloïde, il 

 suffît de déterminer une surface (A) correspondant à une surface 

 minima (B) avec orthogonalité des éléments, de façon que la sur- 

 face AI, normale aux droites de la congruence (G), soit polaire ré- 



