1M6 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



ciproque de la surface (A t ); d'où le problème suivant : ine surface 

 minima (B) étant prise pour surface fondamentale , former an groupe de 

 douze surfaces telles que les surfaces (M x ) et (A x ) soient polaires réci- 

 proques, problème dont la solution de'pend d'une équation bien 

 connue, intégrée par Liouville. On obtient d'abord les coordonnées 

 de la surface (M), puis celles des surfaces (A) et (AJ et par suite 

 celles des surfaces applicables sur le paraboloïde à un plan direc- 

 teur isotrope. 



En examinant les propriétés des surfaces M, qui toutes ont leur 

 représentation sphérique isotherme, M. Thybaut est conduit à l'étude 

 des équations (E p ) de Laplace de la forme 



pour lesquelles la somme des carrés de p solulions particulières 

 d l , O.-i , . . . , 9 p est nulle ; il prouve que si Von en connaît une (p -\- 1 )' èu,c 

 solution quelconque <y, et si Von pose 



, *-/(*S-S)*-(«S-»* 



la fonction 



est une nouvelle solution de l'équation proposée. Lorsque p = 3 , l'équa- 

 tion E 3 est immédiatement inlégrable; lorsque yj=5, l'équation est har- 

 monique. Lorsque p= 5 , les sont les coordonnées pentasphériques d'iuie 

 suif ace isothermique rapportée à ses lignes de courbure. 



La solulion œ étant dite solution spéciale de l'équation (E.) quand 

 Cjj ne diffère de co que par un facteur constant, si Von applique à une 

 équation (Ep) la transformation de M. Moutard relative à une solution 

 spéciale a) , on obtient une équation EL +1 . L'application de ce théorème 

 aux équations harmoniques (Ep) montre que toute équation harmo- 

 nique a des solutions spéciales. La recherche des solutions spéciales de 

 toutes les équations harmoniques est un problème équivalent à la détermi- 

 nation de toutes les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution 

 qui a un plan directeur isotrope. 



La méthode précédente permet donc de déduire de chaque solu- 



