ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1147 



tion d'une équation harmonique (E 4 ) une équation (K ( l. Les cinq 

 quantités x, y, z, u et h (constante arbitraire) liées par la relation 



s» + $* + ** = «*—# 



peuvent être considérées comme les coordonnées pentasphériques 

 d'une surface isothermique rapportée à ses lignes de courbure. Les 

 coordonnées ponctuelles sont 



«=*=/( 



le double signe donne deux surfaces inverses par rapport à l'origine 

 des coordonnées. Voici les expressions explicites de ces coordonnées. 

 Soient a et b deux paramètres, A une fonction arbitraire de a, 

 B une fonction arbitraire de b, À' et B' les dérivées de A et B. Si 

 l'on pose 



on trouve pour X, Y, Z, exprimés en fonction de a et è, qui sont 

 les paramètres des lignes de longueur nulle do la surface, 



De plus, o» obtient toutes les surfaces algébriques de la classe eu rem- 

 plaçant dans ces formules les fonctions arbitraires A et R par des fonctions 

 algébriques quelconques. 



La découverte de cette nouvelle classe de surfaces isothermiques 

 dépendant de deux fonctions arbitraires présente un grand intérêt, car 

 on ne connaissait que deux classes de surfaces isothermiques dé- 

 pendant de deux fonctions arbitraires : t° les surfaces minima avec 

 leurs inverses; 2° une classe de surfaces obtenues par Ossian Bonnet . 



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