1150 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



M. Bourlet dit qu'on a défini une transmutation dès qu'on a donné 

 un moyen de faire correspondre à loute fonction u, d'une variable .r, 

 régulière dans un certain domaine, une ou plusieurs fonctions de 

 la même variable. Il appelle les fonctions les transmuées de u et la 

 désigne par le symbole fBn. 



Est dite transmutation fonctionnelle toute transmutation ainsi dé- 

 finie : étant donnée une fonction /(z, x) qui servira de base à la 

 transmutation, à toute fonction u de la variable x on fera corres- 

 pondre la fonction /(m, x) de la même variable. Une transmutation 

 fonctionnelle est continue quand la fonction /(e, #), qui lui sert 

 de base, est une fonction continue de z; régulière, quand la fonc- 

 tion de base/(z, x) est une fonction régulière des deux variables z 

 et x. M. Bourlet ne traite dans son Mémoire que des transmutations 

 continues et régulières. Il dit qu'une transmutation est uniforme lors- 

 qu'elle ne fait correspondre, à toute fonction régulière u, qu'une 

 seule fonction transmuée; elle est multiforme dans le cas contraire. 



II. Trouva* une transmutation fonctionnelle continue vérifiant la relation 



S(tt-f-v) = ^[(pM, £v] 



où u et v sont deux fonctions arbitraires de la même variable et Ç> une 

 fonction donnée de deux variables. Pour que le problème soit possible, 

 il faut que la fonction $(x, y) soit indéfiniment symétrique, cVst-à- 

 dire qu'elle soit symétrique par rapport à x et y et que la fonction 

 (p[x, <p(«/, z)] soit symétrique par rapport à x, y et z. Abel a 

 donné le moyen de former toutes les fonctions de deux variables in- 

 définiment symétriques. Son Mémoire sur cette question contient 

 tous les éléments nécessaires à la solution du problème actuel. 



III. Transmutations additives. — M. Bourlet désigne ainsi les trans- 

 mutations qui vérifient la relation 



quelles que soient les deux fonctions u et u de la même variable x. 

 Le rôle important de ces transmutations particulières résulte du 

 théorème suivant : -Sï 7r(x,-y) est une fonction indéfiniment symétrique, 



