ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1151 



la recherche de tontes les transmutations fô qui vérifient, quelles que soient 

 les deux fonctions u et v, la relation 



S[tt(m, v)] = (p((Fu, 



G V 



où $(x, y) est une fonction donnée, se ramène à la recherche des trans- 

 mutations additives. 11 y a donc lieu de chercher la forme générale 

 d'une transformation addilive. 



IV, V. Propriétés et détermination des transmutations additives. — Après 

 avoir établi quelques propriéte's de ces transmutations, l'auteur 

 établit cette proposition fondamentale : Toute transmutation additive, 

 uniforme, continue et régulière est donnée par la formule 



(T« = a M-fa 1 u' + a 2 M"+. . . +a m M^), 



où «j, «2, . . ., a m désignent des fonctions régulières et u, u, . . ., if( m ) 

 les dérivées successives de la fonction régulière u. Il est fait de ce théo- 

 rème diverses applications, notamment aux dérivées à indices fonc- 

 tionnaires et négatifs. 



VI. Une autre forme des transmutations additives, souvent utile, 

 résulte de ce théorème : La condition nécessaire et suffisante pour que 

 la transmutation 



Çu = o ti+ ^ u + ^ u+ . . . + *-*■ ii(») + . . . 



fournisse une transmuée pour toute fonction u , régulière dans un domaine 

 de rayon p autour du point x, est (pie la série 



z — x (z— x)'- ' ( ; — x) ' 



soit convergente pour toute valeur de z telle que le module z — x soit égal 

 à p. Alors la transmutation Su est dite complète dans le domaine de 

 rayon p autour du point x. Les transmutations complètes serent 

 seules étudiées dans la suite. 



