ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1153 



la simple inspection, ce qui n'a pas lieu pour le type général de 

 AL Floquet : Etant donnée une équation différentielle linéaire ei homogène 



■>'( x ^)y=° 



dont le polynôme opératif j\x , z) est un polynôme entier en :4-h\v à 

 coefficients constants, et qui, par suite, est de la forme 



PM(kx) d«y PC-'>(Avc) r/»-*y P (hx)d !f 



~-^rdP + (m-.i)! <**—' + • • • -r— — ^-^(^)y-o, 



P étant un polynôme entier de degré m, dont P', P", . . ., P( w ) sont les 

 dérivées , il suffit de poser 



fc.r 2 



y = ue a 



pour transformer cette équation différentielle en une équation à coefficients 

 constants. 



IX, X. Transmutations inverses des transmutations additives. — Les 

 transmutations additives formant un groupe, au sens le plus général 

 du mot, on est conduit à rechercher si Ton peut appliquer à ces 

 opérations les the'ories de M. Lie sur les groupes de transformations. 

 Pour cela, il faut et il suffit que chaque transmutation additive 

 admette une transmutation inverse, appartenant au groupe. Effecti- 

 vement, la transmutation inverse d'une transmutation additive est égale- 

 ment additive. 



Mais l'inversion d'une transmutation additive n'est pas toujours 

 possible, c'est-à-dire que la transmutation inverse n'est pas tou- 

 jours complète, ainsi qu'on le voit sur des exemples. Pour que Fin- 

 version d'une transmutation additive soit, en général, possible, il faut et il 

 suffit que toutes les puissances entières, positives ou nulles de x admettent 

 des fonctions inverses. 



r 



XL Equations différentielles linéaires d'ordre infini. — Une transmu- 

 tation additive uniforme ayant pour fonction opéra ti ve /(.r, z), 

 faire Yinversion de cette transmutation, c'est intégrer l'équation dif- 

 férentielle linéaire 



f(*'i) u 



», 



