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qui est d'ordre infini lorsque/ ne se réduit pas à un polynôme en z. 

 De telles équations linéaires jouissent des mêmes propriétés que 

 les équations d'ordre fini. On peut donc, pourvu que Ton en con- 

 naisse une solution particulière, n'avoir égard qu'à l'équation sans 

 second membre 



M f ( x 'i) u 



o. 



Les transmutations à inversion complète se rangent en trois caté- 

 gories : 



i° Celles pour lesquelles l'équation (î) admet Yunique solution 

 m = o; ce sont celles dont la transmutation inverse est également 

 uniforme (dans ce type rentrent les changements de variables); 



2° Les transmutations telles que l'équation (î) ait un nombre 

 limité de solutions linéairement indépendantes; la transmutation 

 inverse n'est pas uniforme; 



3° Les transmutations telles que l'équation (î) ait une infinité de 

 solutions linéairement indépendantes. C'est le cas de l'e'quation 



qui a visiblement pour intégrale une fonction arbitraire périodique 

 régulière, de période a. 



Bien que la question de savoir à quelle catégorie appartient une 

 transmutation additicc uni/orme complète, admettant une inverse également 

 complète, ne soit pas résolue, on a les théorèmes suivants : 



Lorsque la fonction opérative d'une transmutation additive uniforme 

 complète n'a aucun zéro [en z) à distance finie, la transmutation est à un 

 multiplicateur près une substitution , et la transmutation inverse est uniforme. 



Lorsque la fonction opérative f(x , z) d'une transmutation additive, uni- 

 forme, complète, admet quel que soit x un nombre fini de zéros en z, la 

 transmutation n'est autre chose qu'une transmutation finie, suivie d'une 

 substitution. La transmutation inverse contient un nombre fini de constantes 

 arbitraires, égal au nombre des zéros de la fonction opérative. 



XII. Transmutations à plusieurs variables. — La théorie des trans- 

 mutations portant sur des fonctions de plusieurs variables, parti- 

 culièrement de leur inversion, est beaucoup plus compliquée que 

 dans le cas d'une seule variable. Nous citerons seulement ce théo- 



