ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 11 50 



où ds est l'élément de surface (S) relatif au point P et où l'inté- 

 gration s'étend à toute la surface (S). 



M. Zaremba prouve qu'il en est bien ainsi lorsque la fonction 

 f(x\ y', z) satisfait aux conditions suivantes : 



i° Sa valeur absolue ne dépasse jamais une constante positive 

 donnée; 



2° Cette fonction ne devient discontinue que le long de certaines 

 lignes tracées sur la surface (S), sur lesquelles elle est indéter- 

 minée, et au passage desquelles elle varie brusquement d'une 

 quantité finie. 



C'est ce qui résulte de la proposition suivante que l'auteur établit 

 en se servant des limites inférieure et supérieure précédemment 

 obtenues pour u : 



Si y désigne la plus courte distance du point (a?, y, z) à la surface (S) 

 et v la distance de ce point à un point variable de la surface 



r^(x-x'f + (y- y y + (z-zj, 



la différence entre la fonction v définie ci-dessus et V intégrale 



7_ f /(>',*/, z' 

 27r Js r 



Us 



étendue a toute la surface, tend uniformément vers zéro lorsque y tend vers 

 zéro. En d'autres termes, à tout nombre positif s, si petit quil soit, cor- 

 respond un nombre positif (à tel que, sous la seule condition y<C(x, on 

 ait : 



r f(x',y',z 

 Js ^ 



27T 



L'analyse de M. Zaremba fournit en même temps une solution 

 très simple de ce problème : Une fonction v(x, y, z) satisfaisant à V in- 

 térieur de la surface à ï équation de Laplace et se réduisant sur cette sur- 

 face à une fonction présentant des lignes de discontinuité, quelle sera la 

 limite vers laquelle tendra la fonction v(x, y, z) quand on fera tendre, 

 suivant un arc donné, le point [x, y, z) vers un point situé sur F une de 

 ces lignes de discontinuité. 



