1102 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



rente de zéro et située au-dessus de (D), qui équivaut à cet énoncé 

 général : 



Une fonction f(z) de la variable complexe est définie par la série 



n 



la série des modules étant convergente. Si R est une région du plan des z 

 oit la variation de V argument de <p n (z) est inférieure à it lorsque n varie, 

 la fonction j\z) ne peut s'annuler qu'en dehors de cette région. 



Les fonctions $„(z) sont d'abord supposées rationnelles, et l'au- 

 teur démontre le théorème fondamental que voici : 



Soitf(z) une fonction définie par la série 



/m -2 



A kk >(z-a l )...(z-a k ) 

 {z-h l )...(z-b k >) 



où Afck' , flj, rt. 2 , . . ., «£., & 1? b , . . ., hy sont des quantités variables 

 avec les entiers m, n, . . . , s ; Ajwf est réel et garde un signe constant 

 quand m, n, . . ., s prennent toutes les valeurs de la série, la différence 

 h — h' étant la même pour toutes les fonctions rationnelles ; de plus , tous 

 les points a l , a 2 , . . . , a^, b Y , b 9 , . . ., b^ sont à distance finie. Consi- 

 dérons le cercle C (de rayon R) de surface minima entourant tous les pôles 

 et les zéros des termes de la série f(z)\ les zéros de f(z) sont a V intérieur 

 d'un cercle concentrique au cercle G, de rayon 



2 (k + /,-') 



où k-{-k' est la plus forte somme des degrés des dénominateurs et numé- 

 rateurs respectifs des fractions rationnelles de la série. 



Ce théorème, appliqué aux racines des polynômes, conduit par 

 des généralisations successives à cette conclusion : 



La fonction u des variables x, y, . . . , z est définie par l'équation 



w n + . . . + G p (x, y, . . ., *)*■-*+•. . .+G„(x, y, z) = o, 



où Gj , G 2 , . . . , G n sont des fonctions uniformes des r variables x ,?/,.... : ; 

 quand le point x, y, . . ., z décrit, dans l'espace à ir dimensions, un 



