U64 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



des termes de degré le plus élevé au dénominateur et au numéra- 

 teur étant réel et conservant un signe constant pour toutes les va- 

 leurs de », les pôles et les zéros des fonctions 9«( 2 ) étant de plus 

 supposés tendre tous vers le même point situé à l'infini pour des 

 valeurs infinies de ». Dans le cas particulier où les pôles sont tous 

 des pôles simples, on retrouve les théorèmes de M. Cesaro sur les 

 fonctions entières, à multiplicateur exponentiel constant, de genre 

 pair, à racines réelles et les fonctions entières de genre impair à 

 racines toutes réelles; la dériver de toute fonction telle a toutes ses racines 

 réelles. 



Ainsi s'ouvre une intéressante parenthèse sur les zéros des déri- 

 vées des fonctions entières à racines réelles. En voici les résultats : 



Les fondions entières de genre o et t dont le multiplicateur exponentiel 

 est de la forme Ae a * s + P* + >', où A e$t une constante, a et fi étant réels 

 et a étant négatif ou nul, jouissent de cette propriété que, si leurs zéros 

 sont réels, les zéros de leurs dérivées sont tous aussi réels. 



En particulier, la fonction qui a pour valeurs les inverses des 

 valeurs de l'intégrale eulérienne de seconde espèce T(z) satisfait à 

 ces conditions, a étant nul et fi égal à la constante d'Euler C; 

 donc l'équation 



d\o S T(z) 



dz 



- C 4- V - Z ~ 1 



a toutes les racines réelles. 



Les fonctions entières de genre î, dont le multiplicateur exponentiel est 

 de la forme k/f z + r i ou a est une quantité réelle ou nulle, et les fondions 

 de genre 2, de multiplicateur \r* : ' : + P, jouissent de cette propriété que. si 

 leurs zéros sont réels, les zéros de leurs dérivées sont tous aussi réels. 



Les /onctions entières de genre pair co. dont le multiplicateur expo- 

 nentiel est de la forme Ae* z * +a + ê z * + 1 + >', où A est une constante, a et 

 fi réels et et négatif, jouissent de la même propriété. 



Si une fonction entière de genre impair co a toutes ses racines a n réelles, 

 le multiplicateur exponentiel étant de la forme ci-dessus, a et fi réels, 

 avec 



— y— 



4-i ^d „• + ■ 



les racines de s<i dérivée .sont toutes réelles. 



Le chapitre se termine par un théorème relatif à la distribution 



