ANVLYSES ET ANNONCES.— MATHEMATIQUES. 1165 



des zéros d'une fonction polaire quelconque, l'infini étant supposé 

 pôle d'ordre p. d'où résultent quelques propriétés de Ijpea très 

 étendus de fonctions entières. 



Au cbapitre II. M. Desainl s'occupe des intégrales définies étu- 

 diées par M. Hermitte. en vue d'armer aux théorèmei sur les fonc- 

 tions uniformes quelconques, qui permettront d'étudier la distri- 

 bution des points où ces fonctions acquièrent une valeur donnée. 



Lee intégrales en question son 1 de la forme 



B Ç r r -Hù.u nr.:-dt,h 



r( I, M . I 



où toutes les limites u r >/., iv r ir., sont finies, H et G des 



polynômes en : à coefficients holomorphes en f, u m. Les 



fonctions F( : ) jouissent de cette propriété que l'ensemble de leurs 

 zéros (sauf l'infini) est à l'intérieur de tout contour convexe entou- 

 rant l'ensemble de leurs discontinuités. 



Les raisonnements relatifs à ces fonctions permettent à M. De- 

 saint d'étendre aux intégrales multiples les théorèmes de Weierstrass 

 et de M. Darboux sur les intégrales simples et d'étudier les zéros 

 des fonctions non uniforme* qui. en dehors de leurs coupures, sont 

 représentables par des intégrales définies du type ci-dessus. Tel 

 est le cas de l'intégrale elliptique 



-/ 



,/: 



V ,-:^ ,-^v. 



pour laquelle on a ce théorème : lorsque : décrit de* eirruits qui ne 

 rencontrent pas Taxe réel entre les points — 1 et — i. V intégrale u ne 



peut s'annuler (sauf pour : = o i qu'à f extérieur du carré de sommets 

 opposés — i et — i . 



Le chapitre se termine par l'étude des fonctions qui se présentent 

 comme périodes d'intégrales abéliennes ou comme intégrales hyper- 

 géométriques. 



Dans la première partie de son travail, l'auteur a pu caractériser 

 certaines classe- de fonctions discontinues ou multiformes par une 

 propriété de leurs zéros, qui. étant commune, permettait de les 

 rattacher entre elles: seulement sa méthode géométrique ne pou- 

 vait atteindre qu'un nombre relativement restreint de classes de 



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