1166 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



fonctions. Aussi, dans la seconde partie, fait-il usage du théorème 

 de Caucby pour étendre les résultats de la première aux fonctions 

 uniformes quelconques et géne'raliser le problème qu'il y traitait. 



Seconde partie. — Sur la distribution des valeurs dp la variable qui 

 font prendre à une fonction une valeur donnée u. — Il s'agit, une fonc- 

 tion étant donnée par les valeurs quelle prend le long d'un con- 

 tour, de limiter les régions du plan où elle peut acquérir la valeur 

 donnée u. Parmi les divers résultats obtenus par l'auteur, nous si- 

 gnalerons spécialement ce théorème : 



Soit F(v) une fonction uniforme pour laquelle le point à V infini est un 

 point ordinaire; traçons un cercle C entourant toutes les discontinuités de 

 F(z) et d'ailleurs aussi rapproché qu'on le veut du contour convexe mini- 

 mum entourant les discontinuités; appelons M le module maximum de F(^) 

 sur C et R le rayon de ce cercle. Les valeurs de ce cercle, pour lesquelles 

 F (z) prend une valeur w, sont à l'intérieur d'un cercle concentrique à G 

 et de rayon 



A étant la valeur de F(z) à l'infini. 



De cette proposition on peut déduire une réciproque qui permet, 

 en particulier, d'établir une distinction entre les fonctions uniformes 

 et les fonctions multiformes, ainsi qu'un théorème général sur la 

 continuité des fonctions uniformes. 



Vient ensuite une étude des fonctions entières et des intégrales 

 des équations différentielles, faite au point de vue de leurs valeurs 

 d'exclusion (valeurs qu'elles ne peuvent acquérir). Nous en détache- 

 rons ce théorème : Etant donnée l'équation différentielle 



Ï-A'> •'/)• 



soit y une intégrale qui, pour x=x Q , prend la valeur y ;/(#, y) 

 ayant un module maximum M lorsque x reste à l'intérieur du cercle 

 de centre .r , de rayon a. y variant à l'intérieur d'un cercle de 

 centre y Q , de rayon b; désignons par R la plus petite des deux 



M 



quantités a et — . A l'intérieur de son cercle de convergence, de 



