ANALYSES ET ANNONCES. — MATHEMATIQUES. 1169 



Si, par un point fixe, on mène des parallèles à toutes les droites 

 d'une congruence (C), on obtient un système de droites qui est 

 appelé' la représentation sphérique de (C). Ce système (C) n'est pas 

 un système doublement infini quelconque de droites concourantes, 

 car sur les droites de la représentation sphérique, il existe une infinité de 

 points qui décrivent des réseau.r. Inversement, Je système des droites <pù 

 joignent V Origine àUX points d'un réseau est la représentation sphérique 

 d'une infinité de congruences. Deux congruences étant dites parallèles 

 lorsque les développables se correspondent et que les droites sont 

 parallèles, deux congruences parallèles ont même représentation sphérique. 

 La recherche des congruences parallèles à une congruence donnée 

 revient donc à celles des congruences qui ont une représentation 

 sphérique donnée. Si Ton prend pour système inconnu (P) le sys- 

 tème central (système décrit par le point milieu des deux foyers) on 

 devra se donner les X satisfaisant à l'équation (17) et poser 



A = X, C = -X. 



Alors, des deux premières équations (22) on tire 





B=^4- 9 AQ, c = -~-2XP, 



du 



ce qui change la dernière en 



» + pf + Q»+(» + »_ll¥x-..; 



duov ' dn ' dv ' \du ' dv / 



c'est l'équation dont dépend la détermination de toutes les con- 

 gruences qui ont une représentation sphérique donnée. 



Un réseau et une congruence sont dits conjugués , si le point qui 

 décrit le réseau se trouve sur la droite qui décrit la congruence et 

 si les courbes du réseau correspondent aux développables de la 

 congruence (les réseaux focaux étant exclus). La théorie des réseaux 

 et congruences conjugués repose sur les trois propositions suivantes : 



1° Chaque congruence est conjuguée à une série de réseaux, parallèles 

 à Vun quelconque des réseaux de la représentation sphérique; 



2° Ces réseaux sont les seuls réseaux conjugués à la congruence; 



3° Les droites qui joignent deux réseaux parallèles décrivent une con- 

 gruence conjuguée par rapport à ces réseaux. 



