ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1179 



satisfait à l'équation (H). Ainsi l'équation (H) qui dépend d'une so- 

 lution arbitraire p. de l'adjointe à (F) admet les (p-\~ 2) solutions 



1, o-j, (7 2 , . . ., <T p . aî+'"i+- • •+ <J p' 



c'est-à-dire (/; + 2 ) solutions liées par une relation quadratique, 

 ainsi que M. Darboux l'avait établi dans le cas particulier p=a. 

 On peut généraliser beaucoup ces résultats en* se rappelant que 

 si ; désigne une solution quelconque d'une équation de Laplace, 

 on sait déterminer deux fonctions P et Q linéaires par rapport à z 

 et à ses dérivées, prises jusqu'à un ordre quelconque, par la con- 

 dition que la fonction #, qui a pour différentielle Pdx~\-Qdy, satis- 

 fasse à une équation linéaire du second ordre. On est ainsi conduit . 

 et c'est ce que fait M. Drach, à rechercher toutes les fonctions 6 

 pour lesquelles 



H+Q+... +e* 



est une nouvelle solution de l'équation en 6. ou encore celles pour 

 lesquelles 



01*1+02*2+ • • --T^t> z p 



est une nouvelle solution de l'équation de Laplace. 



L'auteur établit en terminant cette proposition, qui permet de 

 passer d'une équation à invariants égaux dont p solutions sont liées 

 par une relation quadratique (équation dite de la famille p) à une 

 autre équation à invariants égaux dont [p -\- 9) solutions sont liées 

 par une relation quadratique : 



Si Y équation 



1 D a z , 

 _—— -L c =o 



admet p solutions : 1 , : , . . .. : p telles que l'on ait 



*2 _L. .2 _I_ _L 2 2 == Q 



h transformée de M. Moutard, relative à une solution quelconque p. 



1 y* y- 1 



' œ drày cxoy y- 



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