1184 REVUE DES TRAVAUX SCIENTIFIQUES. 



dernière propriété appartient en effet à une multitude de courbes 

 définies comme trajectoires de points matériels. 



L'auteur en cite un nouvel exemple, qu'il rattache aux propriétés 

 de la fonction 



( g ) w ( .r ) = lim — — - — ■• 



n - OC 



Cette fonction exprime la fréquence du chiffre i dans la représenta- 

 tion de x dans le système de numération h base 2. Par suite, elle re- 

 vient e'videmment une infinité de l'ois à la même valeur: mais 

 M. Gesàro fait voir quelle peut prendre toute valeur comprise entre o 

 et i, et cela dans h domaine de toute valeur de x. 



Il s'en faut que Ton ait de'fini la fonction <&(x) pour toutes les 

 valeurs de.r; sa signification même fait prévoir que Ton doit trouver 

 dans tout intervalle une infinité' de valeurs x pour lesquelles le se- 

 cond membre de (3) n'existe pas. Effectivement, on peut faire en 

 sorte que cette fraction, calculée pour une infinité de nombres aussi rap- 

 prochés quon le veut , oscille toujours dans un certain intervalle sa?is tendre . 

 pour aucun d'eux, vers une limite déterminée, et que ces oscillations aient 

 lieu dans toute l'étendue de l'intervalle (o, 1). Il y a plus : pour un 

 même nombre x, on peut faire acquérir à ces oscillations une amplitude 

 aussi voisine de 1 quon le voudra. 



Ces propriétés curieuses de la fonction 'ïï(x) tiennent à ce qu'elle 

 est, pour ainsi dire, une fonction à période infiniment petite. On 

 a en effet 



-sr(.r ) =î ts (x-f- - J=«r (•*■+ j ) = . • . = / sr(#-|-6>), 



co étant l'un quelconque des nombres représentés dans le système 

 binaire par une succession limitée de chiffres. La fonction zr admet 

 donc une infinité de périodes dont aucune ne peut être considérée 

 comme simple. 



Ces préliminaires établis, l'auteur considère In courbe qui ;i 

 pour équation 



y = 7s{x). 



Si l'on se donne un point quelconque (x = a. y = b) compris 

 entre les deux droites y=o et y = i, la courbe a une infinité de 



