ANALYSES ET ANNONCES. — MATHÉMATIQUES. 1185 



points dont l'ordonnée est b et dont l'abscisse est aussi voisine qu'on 

 veut de a. Pareillement, l'équation 



représente une courbe qui passe dans le domaine de tous les points du 

 plan; néanmoins deux cercles quelconques ayant leurs centres à 

 l'origine comprennent entre eux une infinité de cercles concentriques 

 qui ne rencontrent pas la courbe. 



Pour obtenir la courbe annoncée, M. Gesàro représente par <ù{t) 

 la fréquence de 1 parmi les chiffres de rang impair dans la partie 

 fractionnaire du nombre f, écrit dans le système binaire, par \f/(i 

 la fréquence de 1 parmi les chiffres de rang pair. Ces fonctions 

 jouissent des mêmes propriétés que ts{x) et l'on a 



(P( 2 f) = ^(t), 4,(at) = ?(*), 0(t) ++(f)- *«r(l). 



H y a donc entre deux nombres quelconques, aussi voisins qu'on 

 le veut, une infinité de valeurs de t qui ne donnent aucun point 

 dont les coordonnées soient 



(3) *-*(«), *-+(*). 



mais il y a, dans le même intervalle, une infinité de valeurs qui corres- 

 pondent à un point unique dont les coordonnées (3) peuvent être assignées 

 à V avance, entre o'et î, d'une manière tout à fait arbitraire. 



La courbe de M. Peano est continue; mais ses équations (î) re- 

 présenteront une courbe discontinue si l'on y remplace t par nr(t). 

 La courbe (3) est discontinue, mais ne peut être rendue continue 

 par aucun changement de paramètre. 



Le Mémoire de M. Cesàro se termine par l'indication d'équations 

 propres à représenter des portions de plans, telle celle-ci 



qui représente toutes les cases de même couleur d'un échiquier indéfini. 



