Applications géométriques des intégrales elliptiques. 



Nous allons appliquer la méme méthode á réquation de 

 Minkovski rapellée dans le n° 1. On a 



W='Íi-f)=ífí/(i+lř)''"=vT./> 



d, 



Rfí'' 



ou en prenant les coordonnées elliptiques u et v pour vari- 

 ables ďintéffration: 



\ r( Cíl 



Ur 



I- 



udu 



du 



u 



v d v 



1~cp(v) 



u^ g) (ti) 



JvV— 



dv 



^■(t'T)=2«^-^'-^ 



du 



a v 



r au ^ r a v 



'I^U^|qJ(u) 'lv]l~cfiv) 



dv 



í 



du 



h 



^ u^yjcp (u) {v"-^ — (p (.v) 



(4) 



Comparons les deux déterminants. Nous obtenons, en 

 réduisant, une relation entre les intégrales elliptiques com- 

 plětes: 



I 



du 



(u-^ -\- 2 u ,-i y) du 

 ''%- U){ii-n)y-u) {u%<--ll)(S~U)(y-u) 



(v' ~\-2ccr^y)dv 



>-\(r^— ?;)(/? — y')(r — ;') { v^{((— r){S — v){v — y) 



dv 



o (5) 



Remarquons que, dans eette equation, les constantes 

 ci,,.^yy sont assujetties a la condition ci'> S^ y, 



5. T r a n s ť o r m a t i o n d e 1 a relation. (5) . — Pon r 

 ramener le radieal \ <p(ii) á la formě normále de Legendre, 

 introduisons dans les intégrales qui figurent dans Téquation 

 (5) une nouvelle variable ďintégration x liée á u (ou á v) 

 par réquation 



