ApplicatioDS géométriques dťs intégrales elliptiques 9 



Voici en quoi consistc la remarque de Cesáro: Calcu- 

 lons Taire totale ďun ellipsoide Ei dout les carrés «,,^,, y, 

 de demi-axes vérifient la condicion 



le quotient de cette aire et de V«i/?i est égal (voir n" 1) 



á Texprossion /(-^ , -^) et 1'intégTale elliptique qni figuře 



dans cette expression devient complěte. 

 La méme expression 



se préseote (n° 2), quand on calcule Pintégrale de Ja courbure 

 rnoyenne ďun aatre ellipsoíde E dout les carrés «, (?, ;' de demi- 

 axes sont en raison inverse de yi, /5,, cci, de sortě que 



^ = ^ + i (6) 



;' ^ p 



Afin de vérifier la remarque de Cesáro, posons 



Tf (x) = / , ^ dx. 



{ti-~-x')(l-r'x') 



L'intégrale H admet, ďaprěs Euler, le théorěme ďaddi- 



tion 



11 (x) - n (íj)-~n (z) = Q . xyz, 



z étant donné par la formule 



_ x V(l — y'') (1 - r-" y'') - y V(l - x^) (1 - r- x'') 



y^ __ - - - _ _____ 



1 — r" x^ y 

 Si Ton pose 

 Pml, Qi=A^ — 1. r-^ — l — yb% x=\, y ^ 



V h + 1 

 on a 



et 



"""--'(viŤr)-"^' 



ou 



1 — /fc 



/ 1 \ _ _L r l-(l- fc)a;-^ 



2(1 + A;) 



