4 IH. Gerhard Kowalewski: 



Spiegelbildern des Mittelpunktes in Bezug auf die Wáride 

 des Wiirfels. 



§ 2. 



Das Rhombendodekaeder grosster Oberfláche bei 



geg:ebener Kante. 



Aus der Art, wie wir das schiefe Rhombendodekaeder 

 konstruiert haben, geht hervor, dass man seine Oberfláche S 

 erhált, indem man ans je zweien der e- Vektoren den Ehom- 

 bus bildet und die doppelte Šumme dieser sechs Rhomben 

 nimmt. 



Wird also mit drs der Winkel zwischen e^ und e^ be- 

 zeichnet, so ist 



iS' = ^ sin -d^rs . (r ^ s) 



Wir wollen die Bedingung, dass je zwei e- Vektoren 

 durch die Ebene der beiden andern getrennt werden sollen, 

 zunáchst fallen lassen. Dann sind ej, eg, eg, 64 frei um O dreh- 

 bare Einheitsvektoren, und S muss als stetige Funktion in 

 einem abgeschlossenen Bereich einen grossten Wert /S'* haben. 

 Dieser Maximalwert S'^ kann unmoglich eintreten, wenn 

 zwei Vektoren des Quadrupels, z. B. e^ und Cs, zusammen- 

 fallen. Sie miissten dann námlich mit Cg und h ein orthogo- 

 nales Tripel bilden. Dreht man nun ti in der Ebene e^, eg 

 etwas gegen eg hin, so behalten die vom Index 1 freien Glie- 

 der in S ihren Wert 1, ebenso sin ^14. Dagegen tritt an die 

 Stelle von sin ^12 + sin ^^g == 1 die Šumme sin a + cos a, wobei 

 a den Drehungswinkel von ej bedeutet. Da nun sin a + cos a 

 > 1 ist, námlich die Šumme der Katheten grosser als die 

 Hypotenuse, so wurde jene Drehung des Vektors ti eine Ver- 

 grosserung von S bewirken. Offenbar bleibt S bei Ersetzung 

 eines e durch -e ungeándert. Wir konnen also sagen, dass 

 der Maximalwert *S* nie dann ein tritt, wenn ein Gleid von /S' 

 verschwindet Diese Bemerkung ist deshalb von Wichtigkeit, 

 weil nachher sin S^rs im Nenaer auftreten wird. 



Ebenso leicht macht man sich klar, dass der Maximal- 

 wert 8* unmoglich stattfinden kann, wenn alle vier Vekto- 

 ren in einer Ebene liegen. Es liesse sich námlich sofort eine 

 Vergrosserung von S dadurch herbeiflihren, dass man einen 

 der vier Vektoren senkrecht zu dieser Ebene stellt, 



I 



