IV. 



Konvergenzbeweis eíner L e r c h schen Reihe. 

 Vou Edmund Landau in GottingeD. 



Jn seinen Ergdnzungen zu dem Aufsatz »Bemerkmigen 

 uber trigonometi^ische Reihen mit positiven Koeffizíenten« 

 (diese Sitznngsberichte, Jahrgang 1903, No. XXXVIII) wirft 

 Herr L e r c h die Konvergenzfrage ftir die trigonometrisehe 

 Reihe 



(1) 2 — .^ — sin 2n X TT 



auf, wo 01 {n) die Divisorensumme vou n bezeichnet. Er 

 bemerkt, dass die Frnge mit seiner Methode nicht zu erle- 

 digen gelit, und dass, wenn die Reihe (1) konve rgiert, ihre 

 Šumme 



(2) 2M\-R(^'A 



sei, wo R(z) =^z — [z] gesetzt ist. 



leh werrle im folgenden beweisen, dass die Reihe (1) 



stets konvergiert und, wenn R (z) flir ganzes z nicht als O, 



sondern als o definiert wird, den angegebenen Summenwcrt 



(2)hat*). Hierbei benutze ich fiir die Partialsumme 



sin 2 as TT . , , 

 / (z, u) 





V 



von 





(3) 



^ sin 2 a s TT 



*) (2) ist (mag R {z) fiir sranze z als O oder i definiert sein) 

 wegen der gleichmássigen Konvergenz of fen bar fiir jedeš irratio- 

 nale X stetig, fiir jedeš rationale x unstetig. Herr Lerch ge- 

 brauchte — wie er mir frenndliehst bestátigt — seine Worte »iiberall 

 unstetig* aueh nur in dem Sinne: »unstetig' in einer iiberall dioh- 

 ten Menge«. 



Sitzber. d. kon. bohm. des. d. Wiss. II. Classe. 



