Neue Grundleg^mg: der Geometria intrinseca 3 



TI als die kleinste invariante Mannigf alt i gkeit 

 um ^o, eo zu bezeichnen (vgl. Lie-Engel, Theorie der Trans- 

 formationsgriippeD, Bd. I, S. 224). 



Denken wir iins to als absolut fest, ^o dagegen als ver- 

 ánderlicb, so gibt es 0^2 durchgehend verschiedene Mannig- 

 faltigkeiten 9}?. Jede von ihnen ist vollkommen be- 

 stimmt durcb den Punkt ^o, der sie zusaminen mit eo unter 

 Einwirkung der Gruppe r hervorbringt. 



Wird nun ein Punkt ^ und ein Element (r — 2)-ter 

 Ordnung e vorgelegt, so gehort das Paar ^, e einer ganz 

 bestimmten Mannigf altigkeit Wíl an. Es gibt namlich, wenn 

 e nicht zu stark von eo abweicht, in gewisser Náhe der Iden- 

 titát eine und nur eine Transformatioa Te, die eo in c liber- 

 fuhrt, und dieselbe Trans formation verwandelt den Punkt 

 ^)3o = (*^0 ^'e ^^ in ']3. Das Paar %^, c gehort also derjenigen 

 Mannigfaltigkeit 9)? an, die aus %\j, Co unter Einwirkung von 

 /' entsteht. 



Als Relativkoordinaten des Punktes ^ in 

 Bezug auf das Element e wiirde Cartcm^)^ der diesen 

 Sonderfall allerdings nicht betrachtet hat, zwei Grossen be- 

 zeichnen, welche die Lage von •p bestimmen, sobald e fixiert 

 ist, und sich invariant verhalten, wenn man ^|n und e zusaai- 

 men irgend einer Transformation der Gruppe r unterwirft. 

 Da das Paar ^, e hierbei die Mannigfaltigkeit SR, in der es 

 liegt, nicht verlasst und sich transitiv in -Oť bewegt, so liegt 

 es nahé, als Eelativkoordinaten des Punktes "Jj in Bezug auf 

 e die cartesischen Koordinaten Xo, Yo des Punktes ^o zu be- 

 trachten, durch den im Verein mit eo jene Mannigfaltigkeit 

 charakterisiert ist. Diese Grossen gentigen auch der ersten 

 Forderung, dass sie den Punkt ^ festlegen, sobald e gege ben 

 ist. Durch e wird namlich die Transformation Te der Gruppe 

 y bestimmt, die eo in e verwandelt. Dieselbe Transformation 

 fuhrt aber ''Po in ^ liber. 



^) Cartan neiint als seiiien Vorláufer aiii' unserem Gebiete 

 Emile Cotton, Dieser geistvoUe Mathematiker hat schon im Jahre 

 1905 die Theorie des beweglichen Dreikants auf beliebig-e Trans- 

 formatioiisgruppen iibertragen (Bulletin de la Soc. math. de France, 

 t. XXXIIl., p. 42). Seině Abhandlung ist leider wenig* beachtet 

 worden. 



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