4 III. G. Kowalewski u. A. Weizsaecker: 



Kurz geťasst wiircle clic» obige Definition foígencler- 

 massen lanten: Die Relativ koordina ten des Punk- 

 tes ^ in Bezug- aiif das Element e sind die carte- 

 s i s c h e n K o o r d i n a t e n des P ii n k t e s (^) Te ~\ wob ei 

 Tc die durch (co) Te=e bestimmte Transformation 

 der G r u p p e / ' b e d e u t e t. 



Genan entsprecliend werden die Relativkoordinaten an- 

 derer Gebilde in Bezug auf das Element e definiert. So sind 

 z. B. die Eelativkoordinaten eines Kurvenelementes ^ in Be- 

 zug auf e nichts anderes als die gewohnlicben Koordinaten 

 des Elementes ((S)Te~^. Doch wollen wir zunáchst bei den 

 Eelativkoordinaten eines Punktes bleiben. Diese sind offen- 

 barsimultanelnvarianten von^> uad e, d. h. invariante 

 Funktionen von X, Y und x, y, y , . . . ,y^^^~^K Sie haben 

 die Eigenschaft, sicli auf X, Y zu reduzieren, wenn e mit to 

 zusammenfállt. Dann ist námlich Tc die Identitát, also 0]3) T^~^ 

 der Punkt ^ selbst. 



G, Picks kovariante Koordinaten sind dasselbe, 

 wie die oben definierten Eelativkoordinaten. Nur wird von 

 ihm nicht ausdriicklich gefordert, dass sie sich auf X, Y re- 

 duzieren sollen, wenn das Element e eine besondere Anfangs- 

 lage to annimmt. Cartan scheint die grundlegende Pícksche 

 Abhandlung aus dem Jahre 1906, die seine allgemeine Idee 

 der Eelativkoordinaten in einem wichtigen Palle anticipiert, 

 nicht zu kennen und nennt, wie bereits oben erwahnt, nur 

 E, Cotton (1905) als Vorláufer. 



Liegen die endlichen Transformationen der Gruppe r 

 vor, so kann man die Eelativkoordinaten des Punktes ^ in 

 Bezug auf das Element e ohne Integration berechnen. 

 Verftigt man dagegen nur iiber die infinitesimalen Trans- 

 formationen ^i/, . . . Arf von 1\ so mussman sie (r — 2)-mal 

 erweitern, um zu erkennen, wie bei r die Elemente e trans- 

 formiert werden. Da ^ und e immer beide derselben Trans- 

 formation von r unterliegen, so wirkt auf die Paare '^, e 

 die Gruppe 



A,f+A,^'-'% ..., Arf+A^r'^f ■ ; 



ein. Dabei bedeutet Ap^^~^^f die (7-— 2)-te Erweiterung vod 

 Aof und Aof das in X, Y geschriebene Aof. Die Eelativko- 



