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Neue Grundlegnng der Geometria intrinseca 5 



ordinaten des Punktes ^ in Bezug auf das Element e sind 

 nun, als simultane Invarianten von ^ nnd e, Losungen des 

 vollstándigen Systems 



undzwar, weil siesich im Fallee = eoauf X,Y reduzieren, die 

 HauptlósuDgén dieses Systems f lir e = eo (vgl. Lie-Engel, 

 Bd. I, S. 91, Theorem 12). Dadurch sind sie eindeutig be- 

 stimmt. 



Hat man bei einer TraDsformationsgruppe F das obige 

 vollstándige System integriert und die Eelativkoordinaten 

 gewonnen, so ist man im Stande, die endlichen Transforma- 

 tionen von F aufzuschreiben. Sind namlich 



Xo — ^ (X, r, X, ij,y\. .., ij'~^^). 



To = 1/. (X, r,x,^, /,..., ^'-'^0 



die Eelativkoordinaten des Punktes '^ oder X Y in Bezug 

 auf das Element e oder x, y, y\ . . . , y^''~^^\ so lassen sich 

 Xo , Yo , wie wir wissen, als cartesische Koordinaten des 

 Punktes ^o auffassen, aus welchem ^ durch die Transfor- 

 mation Te der Gruppe 7' hervorgeht. Dabei konnen wir als 

 Parameter dieser Transformationen die Koordinaten x, y, 

 y\ . . . , y^'''~^^ des Elements e benutzen. Die obigen Gleichun- 

 gen, die man in die symbolische Formel ^o = (vP)T7'^ zusam- 

 menfassen kann, stellen also die Transformation T^^ dar. Da 

 nun die Transformationen einer Lieschen Gruppe sich paar- 

 weise als inverse zusammenordnen, so haben wir tatsáchlich 

 alle endlichen Transformationen der Gruppe F vor uns, we- 

 nigstens alle in einer gewissen Umgebung der Identitát. Es 

 gilt somit folgender Satz: 



Die Eelativkoordinaten der Punkte in Be- 

 zug auf ein gegebenes Element (r — 2)-t e r O r d- 

 n u n g (bei einer r-g 1 i e d r i g e n T r a n s f o r m a t i o n s- 

 gruppe, die diese Elemente transitiv ver- 

 t a u s c h t,) h á n g e n m i t den A b s o 1 u t k o o r d i n a t e n 

 durch eine Transformation der Gruppe zusam- 

 men. Man findetdieganze Gruppe, indem man 

 das Element (r — 2)-ter Ordnung anders und an- 

 d e r s w á h 1 1. 



