Neue Griaindlegung" der Geometria intrinseca 7 



formation T^l\'~^^^Tt* auf das Element e^ anwendet. Da- 

 bei ergibt sich námlich 



(e,) T, T-' = (e) T,r' , (c,) Te = e* , 

 also 



Hiernach sind die cartesischen Koordinaten des 

 Elements e* die Relativkoordinaten von e in Be- 

 zug auf e'. Als Relativkoordinaten bleiben sie aber invariant, 

 sobald c iind" e' gieichzeitig irgend einer Transformation der 

 Gruppe r unterworfen werden. Sie reduzieren sich, wie man 

 aus der Beziehimg 1\ Te~^ = Te* ersieht, auf die cartesischen 

 Koordinaten des Elementes e, wenn e' mit e^ zusammenfállt. 

 Diese Grossen sind also die Hauptlosungen des vollstándigen 

 Systems 



A<>^'"'Y + ^V''~'y=o (o = 1, . . ., /•) 



f lir e' = L\,. Dadurch sind sie eindeutig bestimmt, und man 

 sielit zugleich, dass ausser ihnen keine wesentlich neue In- 

 variante von e und e' gegentiber der Gruppe F existiert. 



Es sei hier noch auf folgende interessante Tatsache 

 hingewiesen. Die r Relativ koordinaten von e inBe- 

 zug auf e' bestimmen die Gruppe i^ vollkommen, 

 d. h. jede Transformation der Elemente {r — 2)- 

 ter Ordnung, die bei glei clizeitiger Anwendung 

 auf cund e' jene r Grossen invariant lásst, ist 

 die (r — 2)-malige Erweiterung einer Transfor- 

 mation von r. 



Am leichtesten iiberzeugt man sich hiervon, wenn man 

 nur infinitesimale Elementtransformationen betrachtet. Es 

 sei also Wf eine infinitesimale Transformation der Elemente 

 (r — 2)-ter Ordnung, welche, auf e und ť angewandt, die r 

 simultanen Invarianten, die diese Elemente bei der Gruppe r 

 haben, ungeándert lásst. Dann muss die GleLchungMY+T^7=0 

 eine Folge der r Gleichungen Ao^''~^^^f -\- A'^^'^~'^^f=^0 sein, d. h. 

 es muss eine Relation von folgender Form stattfinden: 



Wf + Wy = ^ cfo ( Jo(^-'^)/ + ^4'/^-'Y) . 

 Diese Relation zerfállt aber in die beiden Relationen 



Wf — I(poAoi''-'y^ und WJ = IcpoA'e^'-^^f. 



