Neue Grundlegung: der Geometria intrin&eca , 9 



Lásst man ť mit e^ zusammenfallen, soj-eduzieren sieli 

 die linken Seiten auf die Koordinaten von e, und man hat 

 die endlichen Gleichungen der (r — 2)-mal erweiterten Gruppe 

 r vor sich. Vorausgesetzt wird hierbei, dass die Invarianten 

 /i (e , e') , • ■ . , Ir (í, ť) gerade die Eelativkoordinaten von e in 

 Bezng auf e' darstellen. 



Dass die Eelativkoordinaten von e in Bezng auf e' 

 charakter istische Invarianten der (r — 2)-mal erweiter- 

 ten Gruppe r sind, ist iibrigens ein Spezialfall einer allge- 

 meinen Eigenschaft, die allen Eelativkoordinaten zukommt. 

 A uch die Eelativkoordinaten eines Punk tes ^ 

 beztiglich eines Elemeuts e von (>'— 2)-ter Ordnung 

 sind charakteristische Invarianten der auf 

 ^, e erweiterten Gruppe r. Dies hat folgenden Sinn. 



Wenn eine Punkttransformation ^^ in ^p verwandelt und 

 eine Elementtransforniaiion (/• — 2)-ter Ordnung e in e, so je- 

 doch, dass die Eelativkoordinaten von ^ in Bezug auf e un- 

 geándert bleiben, dann gehort die Punkttransformation der 

 Gruppe r an, und die Elementtransformation ist ilire (r — 2)-te 

 Erweiterung. Aus 



folgt in der Tat 



^={f)T-'Tr=if)T. 



Hieraus ersieht man, dass die betrachtete Punkttransfor- 

 mation eine bestimmte Transformation T der Gruppe /' ist. Aus 

 Tr^Tr = T folgt aberTr=TeTund(eo)Tr = (eo)TeT,d.h. 



Die betrachtete Elementtransformation driickt also aus, 

 wie T auf die Elemente (/• — 2)-ter Ordnung einwirkt. 



Kennt man die Ausdnicke Ji (^, ^), J2 (^, ^) der Eela- 

 tivkoordinaten von %^ in Bezug auf ^, so erfiillen alle Trans- 

 formationen der Gruppe 7' und nur sie allein die Bedingungen 



Ji (f, c")=Ji (% O, 

 J, (f, 0=J, {%\ e). 



