Neue GrundleigiiTig* der Geometria intrinseca 11 



Die Formel (t) ist die Zusammenfassung zweier Glei- 

 chungeD, die man die differentiellen Identitáts- 

 bedingungen nennen konnte, im Gegensatz zu den 

 endliehen Identitátsbedingungen, die in der symbolischen 

 Formel (*) auf Seite 10 enthalten sind. Die differentiellen 

 Identitátsbedingungen beziehen sieh auf die infinitesimalen 

 Inkremente, welche die Relativkoordinaten eines Punktes ^^ in 

 Bezufí" auf das Element c bei infinitesimaler Ánderung dieses 

 Elementes erfahren. Anstatt die Inkremente der beiden Relativ- 

 koordinaten zu betrachten, kann man nach einem bewáhrten 

 Kunstgriff Lies daslnkrementeinerwillklirlichen Funktion 

 dieser Koordinaten ins Auge fassen. Dadurch entsteht die 

 Formel (f)- ^o wiirde Líe die Identitátsbedingungen gesclirieben 

 haben, wenn er sich mit natlirlicher Geometrie bescháftigt 

 hátte. Die Formel (ti kommt, wie in Kowalewshis Pariser Notě 

 bemerkt wurde, sogar tatsáclilich bei Líe vor, f reilich in ganz 

 anderer Bedeutung, námlich als analytischer Ausdruck seines 

 ersten Fundamentalsatzes. 



Hinsichtlicli der Pfaffschen Ansdriicke U^ ist noch fol- 

 gendes zu sagen. Aus einer Bemerkung von Cartan liber 

 Lies ersten Fundamentalsatz f olgt, dass die V o charakter!- 

 stische Differentialinvarianten der Gruppe F 

 sind, d. h. jede Transformation der Elemente 

 (r — 2) -t e r O r d n u n ^, die Ui , U2 j • - - , Ur e i n z e 1 n 

 invariant lásst, ist die (r— 2)-te Erweiterung 

 einer Transformation von /'. Da die Uq, nach einem 

 Satze von Lie, eine nicht verschwindende Determinante baben, 

 so kann man jeden Pfaffschen Ausdruck U in x, y, y\ . . . ^y^^"^^ 

 aus den Uq linear kombinieren: 



^ U = 2xi^,(x,y,y\,,.,y^'-^^)Ue. 

 Soli nun U die Gruppe F gestatten, so ralissen die Koeffi- 

 zienten xpQ Konstanten sein. 2cqUq ist also die a 1 1 g e- 

 meineForm eines beirinvarianten Pfaffschen 

 A u s d r u c k s i n x,y,y\ . . ., y^''~'^^ , Die JJq selbst wollen 

 wir die Pfaffschen F u n d a m e n t a 1 i nv a r i a n t e n 

 von F iietjiien. 



Bei der Gruppe der Bewogungí'n p,q, — yp-\- xq lauten 

 die drei PfafťschcMi Fundamcntaliuvariantcn z. B. folgender- 

 niassen: 



