Neue Gruiidleg"ung' der Geometria inti-inseea 13 



111. 



Relativkoordinaten mit zwei Bezugseiemeníen. 



Neue Entwickeluugsmoglichkeiteu der naturlichen Geo- 

 metrie ergeben sich, wenn man den Begriff der Relativ- 

 koordinaten in der Weise erweitert, dass man statt eines 

 Bezugselements mehrere, also z. B. zwei Bezugselemente 

 einfiihrt, ein Element e^ von der Ordnung /'i— 2 und ein 

 Element e., von der Ordnung r-i — 2. Die Gesamtzahl ihrer 

 cartesischen Koordinaten mnss gleich der Gliederzahl der 

 Gruppe r sein, also ri + r2 = r, und die Mannigfaltigkeit der 

 Paare Ci,e2 darch r transitiv transformiert werden. Unter 

 dieser Voranssetzung gibt es, wenn e^^, e? ein Anfangspaar 

 von allgeineiner Lage ist und Ci, tz ein beliebiges Paar einer 

 gewissen Umgebung des Anfangspaares, in der Náhe der 

 Identitat eine und nur eine Transformation Tz^ e, von /; die 

 €f, ef in ei, tz uberfíihrt, d. li. e° in ei und zugleich e^° in e... 

 Die in der Náhe der Identitat liegenden Transformationen 

 von r lassen sich also durch ihre Einwirkung auf das 

 Elementpaar ť, c"^ voneinander unterscheiden. 



Als Relativkoordinaten eines Punktes ^ 

 in Bezu g auf das Elementpaar ei,e2 definieren wir 

 jetzt die cartesischen Koordinaten des Punktes ^o=(^)T~e^ 

 (vgl. die analoge Definition auf S. 4). Diese Grossen haben 

 erstens die Eigenschaft, die Lage des Punktes •)? zu bestimmen, 

 sobald man das Elementpaar Ci, z-i fixiert hat, weil in der 

 Tat durch Angabe von Ci, ea die Transformation Te^e, fest- 

 gelegt ist, die ^o in ^ liberflihrt. Zweitens bleiben die Relativ- 

 koordinaten ungeándert, wenn man sowohl ^ als auch das 

 Bezugssystem ei, 62 irgend einer Transformation T der 

 Gruppe r unterwirft. Ist námlich 



e; = (ei)T,ě2 = (e2)T,f =(^)T, 

 so hat man _ 



mithin 



Die Relativkoordinaten des Punktes $ in Bezug auf e, , Zi sind 

 aber nach der obigen Definition die cartesischen Koordinaten 

 des Punktes 



h 



