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Neue GriiiidlegTing der Geonietria intrinseca 15 



der Relativkoordinnten Xo , Yo des Punktes ^ in Bezug aiif 

 ei, e2 versteht, in folgender Form schreiben: 



Die Grossen V o sind r invariante Pfaffsche Ausdriicke in 

 den Koordinaten der beiden Elemente ei und 02 mit niclit- 

 verschwindender Determinante, und jeder andere invariante 

 Ausdruck dieser Art setzt sicli linear mit konstanten Koef- 

 fizienten aus den V o zusammen. Auch hier handelt es sich 

 wieder um Invariaoten, die fiir die Gruppe r cliarakteristisch 

 sind. 



Man kann die differentiellen Identitátsbedingungen 

 dadurch spezialisieren, dass man die Elemente ei, 62 auf zwei 

 Kurven oder beide auf einer Kurvě variieren lasst. 



IV. 



Ersťes Beispiel: Relativkoordinaten eines Punktes in Bezug 



auf zwei Linienelemeníe gegeniiber der allgemeinen 



affinen Gruppe. 



Als Relativkoordinaten eines Punktes x, y in Bezug 

 auf zwei Linienelemente X\, ?/i, y\ und a;2, y^^ y'i kann man 

 die beiden Ausdriicke 



y — ^2 — (x — x^i) yi y — y\ — {x — x^ y\ 



y\ — ^2 — (^1 — ^2) y''i ' ^2 — y\ — fe — x^ y\ 



benutzen, die eine einfaehe geometrische Bedeutung haben, 

 wobei der Invarianteocharakter gegeniiber der allgemeinen 

 affinen Gruppe evident wird. Lásst man x^^ 7/1, y\ mit 1, 

 O, O und ír2, y^, y'-! mit O, 1, qo zusammenfallen, so wird 

 u^=^x, v^=^y, d. h. die Relativkoordinaten gehen in die Ab- 

 solutkoordinaten íiber. Die Elemente 1, O, O und O, 1, ^ 

 bilden also das Ausgangspaar, von welchem in Nr. III die 

 Rede war. 



Bei der Aufstellung der differentiellen Identitátsbedin- 

 gungen wollen wir uns von vorneherein auf den Standpunkt 

 stellen, dass wir x-i, yx, y\ und 0:2, ^2? y\ als Linienelemente 

 einer und derselben Kurvě betrachten, an der sie unabhángig 



