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III. G. KoAvalewski u. A. Weizsaecker: 



^oneinander entlang gleiten koniien. Dann lauten die Iden- 

 titasbedingungeii, wie folgt: 



J du = udsi -\r {u-\- v — i) Ii dsu 

 \ dv = vds-i + {u + v — 1) /i dsi. 



(1) 



Hierbei haben wir zur Abkíirzung gesetzt 



{y\~ť'^)dxx _ 



Vi — y-i — (^1 

 ferner 



^2) y'i 



iSi. 



{y\ — yU) dx-2 



y, 



yi — fe — ooi) y\ 



[tji — y-i — tel " x.^ y'i)^y'\ 



(^'2 



y\r [y-i — y^ — fe — x^y\\ 



lu 



iž/2 



ž/i — fe — Xi ) y\ } - y ^2 _ 



y'^)'{yi 



{x. 



xúy'^ 



=h. 



(y\~y-j'\yi~y-2 



Aus der allgemeinen Theorie folgt, dass dsi, ds-> inva- 

 riante Differentialausdriicke und li,Ii Differentialinvarianten 

 sind. Man konnte dsi, ds-i als gemischte Bogenelemente 

 bezeichnen und allgemein unter einem gemisehten Bogen- 

 element einen invarianten Differentialausdruck von der Form 



co fe, ?/i, y\, . . . , yi^e), x., y-i, ij-i, . . . , y^^^^) dx^ 

 verstehen. Was 7i und h anbetrifft, so sind sie die beiden 

 Invarianten, die zwei Elemente zweiter Ordnung bei der ge- 

 nannten Gruppe besitzen. 



Anwendung auf Kegelschnitte. Die Linienele- 

 mente Xx^ y^, y\ und x-i^ yt^ y'i mogen einem Kegelschnitt 

 angehoren. Die Gleichung dieses Kegelschnitts in den Koordi- 

 naten u^ v lautet dann 



(2) {u—\\^-\-{v — \y'-\-1Buv — \. 



Um das zu erkennen, bedenke man, dass 2í, v schief- 

 winklige Koordinaten sind. Als Achsen dienen dabei die Ge- 

 raden der beiden Linienelemente Xy^ yi, y\ und x^, y^, y'%, 

 als Einheitspunkte auf den Achsen die Punkte dieser Linien- 

 elemente. Wird nun gefordert, dass ein Kegelschnitt 



AiC-' + 2 Buv + Cv' + 2DU + 2EV+F — 



die Achsen in den Punkten íí = 0, i- = 1 bezw. zí = 1, i;=0 

 beriihrt, so findet man, dass seine Gleichung die Form (2) 

 haben muss. 



