Neue Grundiegiiiig der Geometria intrinseca . 17 



Nun wollen wir die beiden Linienelemente an dem Ke- 

 gelsehnitt eotlang gleiten lassen. Da alle Punkte des Kegel- 

 schnittes fest bleiben, so konnen wir auf sie die Identitáts- 

 bedingungen anwenden. Esergibt sich dann, dass die Gleichung 



(3) (u— ^ + Bv) du-^{v — l-^ Bu) dv + dB.uv = Q 



eine Folge von (2) sein muss, wenn an die Stelle von du, dv 

 die Ausdrucke (1) treten. 



Setzt man die Koeffizienten beider Gleichungen in Pro- 

 portion, so gelangt man zu folgenden Relationen: 



l+Bh = h, l + Bh = h, 



^^^ I d{B-^\) = -{B-\-l){ds,-^ds,), 



Aiis den beiden ersten ergibt sich, dass A = /a ist. Es 

 gilt somit folgender Satz uber Kegelschnitte: 



Je zwei Elemente zweiter Ordnung :ri, yu y\j 

 y'\ undrTa, ^2, y\', y*\ eines Kegelschnittes stehen 

 zueinander in der Beziehung 1x^=^1^, d. h. 



{yi — .V2 ~ fai ~ ^2-) y\ ] ' y'\ _ 

 (y^ - y\y \yt — yi— fe — xi) y\ } 



{.^/2 — yi — (X2 — Xi) y\Y y'\ 



(y\ — y''^y \y^ —y^— fc — ^^) y'^) 



Legt man nicht Wert darauf, dass beide Seiten der 

 Gleichung Differentialinvarianten sind, so kann man ihr 

 folgende einfachere Porm geben: 

 {yi —yi — {x^—Xi)y\Yy'\^=^{y% —yi—{x^ — oox)y\Yy'\, 



Ftihrt man die Grossen 

 yi —yi — fa — x^) y\ __ ^ y^ — yx -~ {x-, — x^)y\ _ ^ 



ein, welche angeben, wie weit der Punkt je eines Linienele- 

 ments von der Geraden des andern entfernt ist, ferner die 

 Grossen 



(vr+^^O' _ (Vi+.«/v)' _ 



Qu ~T^ — (>2j 



y 1 y 1 



welche die Kriimmunsfsradien an den beiden betrachteten 

 Stellen ausdriicken, so nimmt die obige fur die Kegelschnitte 

 charakteristische Relation folgende Gestalt an: 



2 



