Neue Grundlegung der Geometria intrinseoa 19 



nebst der Geraden des Linienelements x^, y^, y\' Einheits- 

 punkt auf der í/-Achse ist der Punkt x^, yu Einheitspuukt 

 auf der i;-Achse ein Punkt, der zusammen mit Xi, yi und 

 x^, y^ ein Dreieck vom Inhalt 2 bildet. 



Die differentiellen Identitátsbedingungen erscheinen hier 

 in folgeader Form: 



J du^=^ Ids-i . u — Jds2 . v, 

 ^^ \ dv = {dsi + ds^) u — Idsj .v — ds-z. 



Dabei ist zur Abkurzuug gesetzt worden: 



{xi — X2) dyi — iyi — 2/2) dxi = fe, 

 {x2 — Xi) dy2 — (^2 — yi) dx2 = ds2f 

 ferner 



y'2 — y\ 



^"2 



i yi—y^ — (xi — X2) y\ } {j/2 — yi — te — ^i) y\ } 



= J. 



{ ž/i ■- y^ — fe — ^2) y\ j 



7 und J sind die beiden Invarianten, die das Linienelement 

 ^u yyj y\ und das Element 2-ter Ordoung X2, ^2, ^2, y'\ ge- 

 geniiber der speziellen affinen Gruppe besitzen, wáhrend ds^ 

 und ds2 invariante Pfaffsche Ausdriicke von evidenter geo- 

 metrischer Bedeutung darstellen. Auch / und J lassen sich 

 leicht geometrisch interpretieren. Z. B. ist J = 1 : ()2 diMvgl. 

 S. 17). 



Anwendung auf Kegelschnitte. Die Gleichung 

 eines Kegelschnitts, der durch den Punkt x^y^ hindurchgeht 

 und das Linienelement X2r y2, y\ enthált, hat, in den Koordi- 

 nnten u, v geschrieben, folgende Form: 



(3) w2 + 2^w+Cv2— ^í=a 



Nun lassen wir das Bezugssystem lángs des Kegel- 

 schnitts variieren und wenden die Identitátsbedingungen an. 

 Es ergibt sich alsdann, dass die Gleichung 



{'íu-^2Bv—\)du-\-{2Bu^'íCv)dv — 



■ ^ 



nach Einsetzung der Werte (2) fur du, dv eine Folge yon (3)^ 

 sein muss. Verfolgt man diese Beziehung ins Einzelne, so 

 gelangt man zu nachstehenden Relationen: 



I 



