4 i V. K. Eychlík: 



Aus der ersteu dieser Ungleichheiteu folgt unmittelbar, 

 daB die Punkte an,i eine uberall dichte Menge des Inter- 

 valles <: O , 1 > bilden. 



§ 2. Jetzt werden wir beweisen, díiB die Folge der 

 Funktionen (1.) /o ix) ,fi (x) , . . . . fn (x) , . . . . im Intervalle 

 <0,1> gleiclimdBig konvergiert, so daíJ ihr Grenzwert f (x) 

 eine im Intervalle <C , 1 >» stetige Fimktion ist*) 



Aus der graphischen Darstellung folgt unmittelbar, daB 

 die Differenz f »+ife) — fn {x) im Interva]le< a^+i . 4/ , an+i , 4z+2 > 

 dieselben Werte nimimmt, wie im Intervalle <i an+i ,^i-\-2r 

 an+i,4/+i>,nnd daB | fn-\-iix)— fn{x) \ im Intervalle <;a;?+i , 4/ , 

 aH+i,4/+2> den groBten Wert ftir o; = an+i , 4^+1 erhalt. Dieser 

 ist gewiB <: I An+i . 4/+1 — An+\ , 4/ I , d. h. <: | .//;,+: , 4/ | • 



Es ist also 



(2.) I f n+Áx) — f „{x) I < I Jn+\Ai I fui' alle x des Inter- 



valles <.aa,i ,an, /+i >. Da nacb § 1, (14.) | Jn+\ ,4i \ ^ I— I 



ist, so erlialten wir sclilieBlicb (3.) | fn+\{i) — fn{x) \ < I— I ,. 



und dies wird f lir alle x aus dem Intervalle <: , 1 > gelten. 

 Wir sehen also, daB die Glieder der Reihe 



(4.) f,(x) + ( fÁx) — Uix) )+... + {fn+l{x) —f>/x)) + .... 



fiir alle x des Intervalles <0,1> absolut kleiner sind 

 als die Glieder der konvergenten geometrischen Eeibe mit 

 konstanten positiven Gliedern 



«'+i+(ir+--+(ir+-. 



Die Reihe (4.) konvergiert also gleichmáBig (und absolut) im 

 Intervalle <;0,1>, ^o dafí durch ihre Šumme lim fn{x) im 



Intervalle <C0,1> eine eindeutige stetige Fimktion f{x} 

 darsrestellt wird. 



*) W.e aus der Abh. d. H. Jašek (§ 9.) erhelU, wird der Be- 

 weis der Stetigkeit vod Bolzano niclit g-anz richtig* ausgefiibrt; ein 

 neuer Beleg dafúr, daB ihm, ebenso wie Cauchy, der Begriff der 

 ^leichmáBigen Koavergeaz unbekannt blieb. (Vergl. Stolz, Math. 

 Ann. 18, S. 226). 



